邏輯中的基本推理方式精選(九篇)
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第1篇：邏輯中的基本推理方式范文
（桂林電子科技大學計算機科學與工程學院，廣西桂林541004）
摘要：針對離散數學課程中的數理邏輯教學，分析計算思維與數理邏輯之間的內在關系，從計算思維的角度對數理邏輯教學內容進行梳理，論述如何將“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”這一思維模式貫穿于教學過程中，以及如何在教學中強調計算思維的基本概念和基本方法。
關鍵詞 ：計算思維；數理邏輯；抽象；形式化；自動化
文章編號：1672-5913(2015)15-0031-05
中圖分類號：G642
第一作者簡介：常亮，男，教授，研究方向為知識表示與推理、形式化方法，changl@guet．edu．cn。
0 引 言
對計算思維能力的培養已經成為新一輪大學計算機課程改革的核心導向。如何從計算思維的角度重新梳理和組織計算機相關課程的教學內容，如何在教學實施中培養學生的計算思維能力，是近年來計算機教育者熱烈探討的問題。
數理邏輯是計算機專業核心基礎課程離散數學中的主要教學內容，不僅為數據庫原理、人工智能等專業課程提供必需的基礎知識，更對培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力起著重要作用。
1 計算思維
計算思維運用計算機科學的基本概念來求解問題、設計系統和理解人類行為，包括一系列廣泛的計算機科學的思維方法。根據卡內基·梅隆大學周以真( Jeannette M．Wing)教授的設想，一個人具備計算思維能力體現在以下幾個方面：給定一個問題，能夠理解其哪些方面是可以計算的；能夠對計算工具或技術與需要解決的問題之間的匹配程度進行評估；能夠理解計算工具和技術所具有的能力和局限性；能夠將計算工具和技術用于解決新的問題；能夠識別出使用新的計算方式的機會；能夠在任何領域應用諸如分而治之等計算策略等。在計算思維所包含的諸多內容中，最根本的內容是抽象和自動化。
在計算機專業相關課程的教學中，為了培養學生的計算思維能力，我們認為一種有效的途徑是從問題出發，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，培養學生分析問題、解決問題和對解決方案進行評估的能力。同時，我們提煉出計算機學科以及各門具體課程中涉及的基本概念和思維方法，在教學過程中有意識地強化學生對這些基本概念和思維方法的理解和掌握。
2 基于計算思維的數理邏輯數學內容組織
數理邏輯應用數學中的符號化、公理化、形式化等方法來研究人類思維規律。從廣義上看，數理邏輯是數學的一個分支，包括證明論、集合論、遞歸論、模型論以及各種邏輯系統等5部分。我們在這里談的是狹義的數理邏輯，即大學計算機相關專業學習的數理邏輯基礎。
數理邏輯與計算機科學有著非常密切的關聯。無論是在ACM和IEEE-CS聯合攻關組制訂的《計算教程CC2001》中，還是在中國計算機學會教育委員會和全國高等學校計算機教育研究會聯合制定的《中國計算機科學與技術學科教程2002》中，數理邏輯都是計算機相關專業的核心知識單元。對于計算機相關專業來說，數理邏輯的教學內容主要是命題邏輯和一階謂詞邏輯這兩個基礎的邏輯系統。針對這兩個邏輯系統，傳統的教學大綱主要從語法、語義、等值演算、形式證明系統等4個方面安排教學。在開展教學的過程中，教師強調的主要是培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力。然而，從學生的角度看，這兩種能力本身都是抽象的口號，處于大一或者大二階段的學生難以將這些知識點與計算機科學聯系起來，感覺不到數理邏輯在計算機科學或者將來工作中的具體應用，從而缺乏相應的學習興趣。
數理邏輯中的許多思想都與計算思維有著異曲同工之妙；最為明顯的是數理邏輯和計算思維都強調抽象及形式化。在關于離散數學課程的教學實踐中，我們已經把計算思維的諸要素或多或少地滲透到包括數理邏輯在內的培養方案和教學大綱中，但尚未上升到以培養計算思維能力為導向的高度。
在明確將培養計算思維能力作為一個新的教學目標之后，我們從計算思維的角度對數理邏輯教學內容重新進行梳理。具體來說，在計算思維的指導下，我們以問題求解作為出發點，抓住抽象和自動化這兩個核心內容，按照“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的主線來組織數理邏輯教學，培養學生應用計算思維分析問題和解決問題的能力。與此同時，在教學實施的過程中，盡可能地提煉出各個知識點中關于計算思維的基本概念和基本方法，把計算思維貫徹到每堂課中。
2.1 從問題出發引入數理邏輯
在傳統的數理邏輯教學中，開篇的內容就是對命題進行符號化，但許多學生并不清楚為什么要進行符號化。在計算思維的引導下，我們可以通過如下兩個問題來引人數理邏輯。
第一個問題是萊布尼茨創立數理邏輯時的理想：把推理過程像數學一樣利用符號來描述，建立直觀而又精確的思維演算，最終得出正確的結論。形象地說，當兩個人遇有爭論時，雙方可以拿起筆說“讓我們來算一下”，就可以很好地解決問題。為了實現萊布尼茨的理想，基本思路是首先引入一套符號體系，將爭論的內容嚴格地刻畫出來；其次規定一套符號變換規則，借助這些符號變換規則，將邏輯推理過程在形式上變得像代數演算一樣。
第二個問題是人工智能中的知識表示和知識推理。人工智能中的符號主義學派認為，人的認知基元是符號，認知過程就是符號操作過程；知識可以用符號表示，也可以用符號進行推理，從而建立起基于知識的人類智能和機器智能的統一理論體系。基于這種思路，為了在計算機上實現智能，我們首先需要將知識用某套符號體系表示出來，然后在此基礎上通過算法進行知識推理，最終實現智能決策等一系列體現智能的功能。
從上述兩個問題出發，我們可以將命題邏輯和一階謂詞邏輯當作兩個工具來引入。與此同時，對于這兩個工具來說，應用它們來解決問題的過程又可以被分解為符號化表示和符號化推理兩個階段。因此，我們最終可以從兩個維度上引入數理邏輯：一個維度是命題邏輯和謂詞邏輯兩個工具，另一個維度是符號化表示和符號化推理兩個過程。與傳統的直接介紹數理邏輯形式系統的方式相比，這種從問題出發的引入方式與計算機專業學生的思維方式即計算思維一致。
2.2 從形式化的角度組織教學內容
作為徹底的形式系統，數理邏輯為培養計算思維中的抽象思維能力提供了非常好的素材。從形式系統自身的角度來看，我們還可以將語法和語義兩個內容獨立出來。在此基礎上，我們用表1對計算機相關專業數理邏輯部分的學習內容進行概括。
表1列出的知識點與《計算教程CC2001》《中國計算機科學與技術學科教程2002》中關于數理邏輯的知識點一致。借助這張表，可以讓學生對數理邏輯部分的學習內容形成一個清晰、全面的認識。在教學過程中，每開始一個新的章節，我們都可以呈現這張表，幫助學生知道接下來的學習內容處于哪個位置，并且加深他們對計算思維中抽象和建模的印象。
需要指出的是，在廣義的數理邏輯中，介紹形式演算系統時通常是指公理推理系統。公理推理系統從若干條給定的公理出發，應用系統中的推理規則推演出系統中的一系列重言式。公理推理系統可以深刻揭示邏輯系統的相關性質以及人類的思維規律，但從計算思維解決問題的角度來看，我們并不關注公理推理系統。在知識推理中，我們關注的是從任意給定的前提出發，判斷能否應用推理規則推演出某個結論；我們并不要求這些前提和結論是重言式。因此，對于計算機專業的數理邏輯來說，我們關注的是自然推理系統，即構造證明法。計算思維為我們選擇自然推理系統而不是公理推理系統提供了一個很好的視角。
2.3 在數理邏輯中強調自動化
表1的知識點充分體現了計算思維中抽象和對問題建模求解的思維方式，但計算思維中的自動化尚未體現出來。在學習了構造證明方法之后，學生一般會形成一個印象，認為構造證明法使用起來簡單方便，與人們的直觀邏輯思維一致，但使用過程中需要一定的觀察能力和技巧。與之相反的是，計算思維希望能夠通過算法實現問題的自動求解。
實際上，在廣義的數理邏輯中已經存在許多自動化證明方法，其中最為典型的是歸結推理方法和基于Tableau的證明方法。為了判斷能否從給定的前提推導出某個結論，我們同樣可以采用歸結推理方法或者基于Tableau的證明方法。具體來說，我們首先對擬證明的結論進行否定，將該否定式與所有前提一起合取起來，然后判斷所得到的合取式是否為可滿足公式；如果不可滿足，則表明可以從給定的前提推導出結論，否則表明所考察的結論是不能得出的。換句話說，前提與結論之間是否可推導的問題被轉換為公式可滿足性問題來解決。
歸結推理方法最早于1965年由Robinson提出，是定理證明中主流的推理方法。《計算教程CC2001》和《中國計算機科學與技術學科教程2002》都將其列為人工智能課程的一個重要知識點。由于許多學校都是將人工智能作為選修課來開設，因此許多學生都沒有機會接觸和學習。實際上，在數理邏輯的教學實踐中，只需要很少的課時就可以把歸結推理方法講授清楚。具體來說，在講授完構造證明法中的歸謬法之后，只需要補充介紹歸結原理這一條推理規則就可以了，最多只花費半個課時。當我們用簡潔的算法把歸結推理方法描述清楚，讓學生直觀感受到機械化的證明過程之后，學生對計算思維就有了更進一步的認識和掌握。在有條件的情況下，還可以讓學生上機實現命題邏輯的歸結推理算法。
基于Tableau的證明方法出現的時間早于歸結推理方法，最初在1955年就被Beth和Hintikka分別獨立提出，之后Smullyan在其1968年出版的著作中進行了規范描述。Tableau方法的基本思想是通過構造公式的模型來判斷公式的可滿足性。雖然Tableau方法使用的推理規則不只一條，但每條推理規則都直觀地體現了邏輯聯結詞的語義定義。Tableau方法在早期沒有受到太多關注，但最近十多年來，隨著描述邏輯成為了知識表示和知識推理領域的研究熱點，在描述邏輯推理中發揮出優異性能的Tableau方法得到了越來越多的關注。鑒于此，在講授完構造證明法和歸結推理方法之后，我們也向學生簡單描述了Tableau方法，引導學有余力并且對學術前沿感興趣的學生在課后自學。
2.4 在分析評估中強化計算思維
在講授數理邏輯的過程中，我們還可以從許多知識點提煉出計算思維的內容，把計算思維貫徹到每個具體的教學內容中。我們列舉體現計算思維的4個典型內容進行探討。
首先，命題公式和謂詞公式的語法定義為計算思維中的遞歸方法提供了經典案例。實際上，除了公式的語法定義外，數理邏輯中在對語義的定義、對語法與語義之間關系的研究、對算法正確性的證明、對算法復雜度的分析等各項內容中都用到了遞歸。由于課時的限制，我們不能在數理邏輯教學中對其展開，但可以點出這個情況，讓將來可能繼續攻讀碩士或博士學位的學生留下一個印象。
其次，當我們講授了用歸結推理方法或者Tableau方法進行自動推理和問題求解之后，從計算思維的角度看，一個很自然的想法是想知道這種解決方法的求解效率。因此，我們可以對命題邏輯中推理算法的復雜度進行分析。由于我們已經把歸結推理方法通過非常簡潔的算法呈現在學生面前，因此只需要進行簡單的口頭分析就可以得出最壞情況下的算法復雜度，讓學生知道命題邏輯的公式可滿足性問題是NP問題。到此為止，在對命題邏輯進行講授的過程中，我們引導學生完成了“對問題進行抽象建模一形式化一自動化一分析評估”的完整流程。如果在后繼課程中再反復重現這個流程，將可以把這種思維模式固化到學生大腦中，使得計算思維成為他們日后解決新問題的有效工具。
第三，在講授完命題邏輯之后，我們可以用著名的蘇格拉底三段論作為例子來引入謂詞邏輯。首先我們用命題邏輯對“所有的人都是會死的”“蘇格拉底是人”“蘇格拉底會死的”進行符號化，然后展示在命題邏輯下無法從兩個前提推導出后面的結論，從而說明命題邏輯在表達能力上的局限，進而闡述引入一階謂詞邏輯的原因和思路。從計算思維的角度看，這個過程體現了如何選擇合適的表示方式來陳述一個問題，以及如何確定對問題進行抽象和建模的粒度，此外，這個例子還讓學生直觀感受到了計算工具所具有的能力和局限性。
最后，在講授完一階謂詞邏輯的推理之后，我們可以介紹一階謂詞邏輯的局限，即一階謂詞邏輯是半可判定的，一階謂詞邏輯的歸結推理算法不一定終止。從計算思維的角度看，這個結論給了我們一個很好的例子，可以引導學生分析哪些問題是可計算的，哪些問題是不可計算的。在此基礎上，我們進一步闡述邏輯系統的表達能力與推理能力之間存在的矛盾關系：一階謂詞邏輯在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但其推理能力僅僅為半可判定；命題邏輯可判定，但描述能力不強。從計算思維的角度看，此時我們可以引入“折中”這個概念，訓練學生在解決問題的過程中抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。更進一步地，我們向學生簡單介紹目前作為知識表示和知識推理領域的研究熱點的描述邏輯：早期的描述邏輯通常被看做一階謂詞邏輯的子語言，在表達能力上遠遠超過命題邏輯，但在推理能力上保持了可判定性。這些補充內容既能讓學生接觸到學科前沿，又能幫助學生深刻理解如何根據問題的主要矛盾來選擇合適的工具。
3 結語
總的來說，數理邏輯很好地詮釋了計算思維并為其提供了生動的案例。將數理邏輯的教學與計算思維培養結合起來，一方面可以從計算思維的角度重新審視和組織數理邏輯的課堂教學，取得更好的教學效果；另一方面能加強對計算思維能力的培養，使學生能夠更好地應用計算思維來解決問題。
計算思維的培養不是通過一兩門課程的教學就能解決的問題，而是應該貫穿于所有的專業課程教學中。要實現這個目標，要求授課教師不僅僅照本宣科以教會學生課本上的知識為目的，而要能夠從計算思維的高度來看待所講授的課程，對所講授的課程中含有的計算思維基本概念、方法和思想不斷進行提煉，從計算思維的角度對課程進行重新梳理和建設。進行教學改革的目標是要更好地培養學生的計算思維能力，在實施教學改革的過程中，授課教師的計算思維能力也得到不斷的提升和加強。
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第2篇：邏輯中的基本推理方式范文
〔中圖分類號〕 G718.3 〔文獻標識碼〕 A
〔文章編號〕 1004—0463（2013）19—0052—01
人們在認識過程中借助于概念、判斷、推理等邏輯思維形式反映客觀現實，只有經過邏輯思維，人們才能達到對事物本質的把握，進而認識客觀世界。在課堂教學中，教師要充分運用邏輯思維，在使學生掌握課堂知識的同時也使學生受到良好的思維訓練，使課堂教學更加精彩。要上好一堂課，教師必須要有扎實的業務知識和良好的授課技能。在課堂教學中，邏輯思維通過歸納和演繹，分析和綜合，從具體到抽象、從抽象到具體等方式對教學內容進行闡述及講解，目的是讓學生明確概念，準確判斷以及嚴密論證。因此，邏輯思維貫穿教學過程，在課堂教學過程中，教師要充分應用邏輯思維的方法，啟發學生思考，從而引導學生學會運用邏輯思維去分析和解決問題。
一、邏輯思維的基本內涵
一般來說，思維可分為邏輯思維和非邏輯思維這兩大部分，邏輯思維的最初理論是由古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle，公元前384—322年）首先創立的。該理論主要是對思維的形式和規律進行研究，其學科性質類似于語法學。邏輯思維是人類所特有的一種高級心理活動，它是人類大腦反映客觀事物的一般特性以及客觀事物間相互關系的一種過程，它以感知為基礎，同時又超越感知的界限，是一系列復雜的心理操作，是一個動態的關聯系統。邏輯思維的基本形式主要包括概念、判斷和推理之間的結構和聯系。形式邏輯的主要內容包括關于正確思維的三個基本規律和演繹推理的基本形式，即同一律、矛盾律、排中律以及思維形式——概念、判斷與推理。
二、邏輯思維的主要形式及其在課堂教學中的運用
概念、判斷、推理是邏輯思維的主要形式，教學是一門語言藝術，良好的語言駕馭與嚴密的邏輯思維密不可分。課堂教學內容紛繁復雜，只有充分運用邏輯思維方法才能做到概念明確，判斷準確，推理嚴密等。在課堂教學中能否達到以上要求，成為能否充分發揮邏輯思維作用的關鍵。
1.概念明確——上好課的基礎。概念是反映對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知事物的共同本質特點抽象出來，加以概括，就成為概念。課堂教學是用一定系列范疇內的概念構筑而成的。要明確概念，首先要對概念的基本要素進行分析，初步掌握概念內涵，然后通過對概念基本要素的綜合以及相似概念間的分類與比較，充分理解概念的外延。
2.判斷準確——準確表達思想的重要條件。不論在日常生活還是在課堂教學中，我們都離不開判斷，離不開抉擇。培養和熏陶學生的判斷能力不僅有益于他們獲得課堂知識，更符合綜合素質培養的要求。課堂教學中，判斷不僅僅是簡單的對與錯，更應是對事物發生發展的過程進行判斷，通過歸納、演繹讓準確的判斷隨嚴密的推理同時進行。
第3篇：邏輯中的基本推理方式范文
關鍵詞：離散數學；自動推理；吳方法
中圖分類號：O158文獻標識碼：A文章編號：1007-9599 (2010) 06-0000-00
Application of Wu's Method in Predicate Calculus Discrete Mathematics Teaching
Li Yi
(University of Electronic Science and Technology,National Computer Experiment Teaching Center,Chengdu610054,China)
Abstract:Discrete Mathematics is an important branch of modern science,is the basic theory of computer science core curriculum,and predicate logic is one of the important contents.How to Computer Automated Reasoning another classic method - Wu introduced into the teaching of discrete mathematics is the focus of this issue.
Keywords:Discrete mathematics;Automated reasoning;Wu's method
一、引言離散數學是計算機科學與技術專業的一門核心課程
作為數學的一個分支，其研究的對象是各種各樣的離散量的結構及其離散量之間的關系。通過這門課程的學習，可以培養學生們嚴密的數學思維能力。同時，離散數學與計算機科學中的數據結構、操作系統、編譯理論、數字邏輯理論、算法分析、邏輯程序設計、系統結構、容錯診斷、機器定理證明、計算機網絡、人工智能等課程有著緊密的聯系。
離散數學的基礎知識主要包括數理邏輯、集合論、抽象代數、格、布爾代數以及圖論。對于工科學生，教學中，不僅要從數學的邏輯性和嚴密性上去論述所涉及的數學理論知識，更要注重培養學生了解這些數學知識在計算機科學諸領域中所起的應用作用。數理邏輯往往是工科學生在學習離散課程中最早接觸的內容，且與人工智能和定理機器證明有著極大的聯系。因此，如何讓學生學好數理邏輯將直接關系到學生邏輯推理能力提高。謂詞演算的演繹推理是數理邏輯部分的重點和難點內容，里面涉及到大量的知識點。教學實踐表明，工科學生對這部分的內容往往難以掌握。而大部分院校在講授謂詞演算推理時，往往采用“紙和筆”的形式向學生演示整個推理的過程，甚少采用人機交互的方式。
本文中，針對謂詞演算的演繹和推理，我們探討了如何將吳方法引入到該教學內容中，以此從側面來幫助學生了解數學推理的本質，加深他們對計算機自動推理的認識，提高學習數理邏輯的熱情。
二、謂詞演算的演繹和推理
在謂詞邏輯中，為了研究命題內的內在聯系就必須對命題做進一步的分解。
例1：小王是老師
對上述命題進行分解得到：首先，這里的“小王”被稱為個體；“是老師”被稱為謂詞。如果用字每s來表示小王，用字母Q來表示謂詞“是學生”。那么，上述命題可表為Q(s)。當需要描述個體間的關系時，就要引入二元謂詞。
例2：10小于3
引進謂詞Q，則上述命題可表位Q(10,3)。
此外，為了更好地刻畫命題函數所表達的意思，往往還需要引進量詞： 。在引入了個體、謂詞和量詞之后，謂詞邏輯的表達就更加廣泛了。如：
例3：并非所有的實數都是有理數
引進謂詞R和Q，有 。
命題演算系統是被包含在謂詞演算系統之中。因此，在謂詞演算系統內，除了要使用命題演算系統所使用的RP，RT和CP規則外，還要引入關于量詞的4條重要性質的推理規則：
US（全稱特指規則）：
ES（存在特指規則）：
UG（全稱推廣規則）：
EG（存在推廣規則）：
應用上述4條規則以及命題演算的推理規則，使得謂詞演算公式的推理過程可類似于命題演算中推理理論那樣進行。這樣的推理方法常常需要一些技巧，在教學過程也很少通過計算機向學生演算整個推理過程。為了加深學生對計算機自動推理的理解，并便于人機交互的形式去演示推理過程，我們將計算機代數中的經典推理方法――吳方法引入到謂詞演算推理的教學中。不同于前面介紹的經典邏輯推理，吳方法的引入實現了幾何、代數命題推理的機械化。
三、幾何定理機器證明
定理的機器證明是自動推理和符號計算領域最為活躍的分支之一。我國數學家吳文俊在70年代末提出的吳方法是在計算機上證明和發現幾何定理，解決各種幾何問題的有效工具。定理機器證明的思想可追溯到17世紀的G.W.Leibniz和R.Descartes。它的目標是要把一類數學問題當作一個整體，建立一種統一的，確定的證明過程，使得該類的定理只要按程序步驟機械地進行下去，在有限步后，就一定能判斷出定理的真偽。這方面的工作可分為：以Hebrand理論及歸結原理為代表的邏輯方法；以A.Newll及H.A.Simon等人的工作為代表的人工智能方法；以Tarski理論和吳方法為代表的代數方法。吳方法從提出至今，已在世界各國廣泛傳播，并出現了大量的學術論著。吳方法的發現使初等幾何真正跨入了機械化階段。當人們在初等幾何范圍內提出新命題而不知真假時，只要上機一試，便知分曉。而人的工作則主要是猜測、發現，并從機器證明的定理中挑選最漂亮的加以分析。吳方法的基本思想非常樸素：把幾何命題化為代數形式加以處理。
例4：設梯形ABCD的兩條對角線之中點的連線EF與梯形的一邊AB相交，那么直線EF將線段AB平分（如圖）。
當然，對此例，可以使用謂詞邏輯的推理方法進行推斷定理的真偽。這種推理方法需要一些技巧才能完成，且推理過程在教學中不便于通過計算機采用人機交互方式進行演示。因此，我們采用吳方法來進行自動推理，使得整個推理過程可通過計算機實時演示，從而使教學過程可視化。根據吳方法，
第一步，選取Descartes坐標系，不失一般性，將各點坐標依次選為：
于是，定理的假設由下列關系構成：
E是AC中點
F是BD中點
M是AB和EF交點
要證明的結論是：
M是AB中點
至此，我們已經完成了吳方法證明定理的第一步：用解析幾何方法將問題代數化。剩下的問題就是，在假設一組多項式為0的條件下，求證另一組多項式為0。對本例，這就是：
設 求證
第二步，吳-ritt整序原理。將 或 中的變元 消去，得到一個導元為 的多項式，再用 將該多項式中的 消去，繼而將 或 中的 消去。最后得到 的特征列為
其中， 。
第三步，偽除。即對 ，都有 。這說明，在非退化條件 下，定理是成立的。事實上，這些非退化條件是有幾何意義的：
AD不與BC重合；
AB不與AD垂直；
ABCD不是平行四邊形。
從上述過程易見，吳方法將推理的過程轉變為代數方程組整相關的問題。
四、推理平臺Maple
上述的三個步驟完全可以在計算機上通過人機交互的方式進行計算推理。這里，我們主要采用計算機代數系統Maple進行上述推理計算。
Maple是1980年由加拿大waterloo大學開發出來的。
當初開發Maple的目的是為了解決繁雜的代數運算問題。如今其版本已提升到Maple13，并已發展成一個相當完備的軟件。它提供的數學元算工具相當完備，氣符號運算能力使我們能一步一步地進行復雜的公式推導。對例4中的推理，我們僅需要將 對應的表達式鍵入到Maple工作區中；然后，調用Maple函數 計算 的值是否均為0。若是，則定理為真；否則，定理為假。此方法雖然是代數的，但它提供了一個可視化的方式去引導學生對計算機推理的認識。同時，通過在課堂上比較邏輯推理和吳法代數推理之間的差異和各自的特點，加深學生對謂詞演算推理方式的理解。
五、結束語
由于謂詞演算的推理涉及到大量規則的使用，因此在利用相關規則推理時，需要一定的技巧性。在教學方法上，針對工科學生的特點，我們不僅要注重啟發創新，引入新方法，使教學內容豐富多彩，而且還要培養學生們的嚴密的邏輯思維能力。具體體現在，教學中，多采用可視化強，可人機交互的方式進行授課，從而便于學生容易理解和接受。對大部分概念都用實例加以說明；強化基本概念的描述，注重基本理論的證明方法。此外，對同一個問題，引導學生采用多種方法進行求解，充分發揮學生的主觀能動性。通過開設實驗課，使學生們不僅要掌握書上的理論知識，還要讓他們了解這些知識的應用背景，真正做到學以致用。
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第4篇：邏輯中的基本推理方式范文
關鍵詞：系統；真值表；主合取范式
中圖分類號：G712 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）30-039-01
一、需求分析
1、可行性研究
可行性研究的目的是用最小的代價在盡可能短的時間內確定該軟件項目是否能夠開發，是否值得開發。可行性研究實質上是要進行一次簡化、壓縮了的需求分析和設計過程，要在較高層次上以較抽象的方式進行需求分析和設計過程。
本系統采用 vb 技術并且結合當前主流的開發技術進行開發，為了方便教學演示，提高教學的工作效率和簡便性，為了適應新形勢的發展，我開發了這一系統，只能說是初步的開發探索。希望它能夠在現代的數理邏輯方面的教學中發揮快速，便捷的作用，希望可以減輕教師繁重的教學工作量。用戶僅需具有基本的電腦操作能力即可。所以使用者不必擔心在使用該系統時可能出現的困難，所有的教師都可以熟練的操作。
2、專業知識的需求
范式是對含n個命題變元公式的標準表示形式，就像一元二次方程是方程的一種標準形式。范式有析取范式和合取范式兩種。由于析取范式和合取范式不唯一，所以使用起來很不方便。為此，我們引入主析取范式和主合取范式的概念。當命題變元的順序確定以后，主析取范式和主合取范式是唯一的。析取范式和合取范式的基本成分是簡單合取式和簡單析取式，而主析取范式和主合取范式的基本成分是極小項和極大項。極小項和極大項是特殊的簡單合取式和簡單析取式。全部由極小項構成的析取范式，稱為主析取范式。任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式。利用主析取范式解決生活中實際應用的邏輯題非常容易。
下面的例題是對主析取范式和主合取范式的應用。
例1 A、B、C、D四個人有且只有兩個人參加圍棋比賽。關于誰參加比賽，下列四個判斷都是正確的：
a.A和B只有一人參加比賽；b.C參加，D必參加；c.B或D至多參加一人；d D不參加，A也不會參加。請推斷出哪兩個人參加圍棋比賽。
解 設p：A參加了比賽。 q：B參加了比賽。
r：C參加了比賽。 s：D參加了比賽。
3、命題邏輯推理理論
人們在思維過程中，總是根據已有的知識，反映更為復雜的事物之間的聯系，從而擴大認識領域，獲得新的知識。如，人們根據氣象分析，可以做出天氣預報。這是一種由已知推斷未知的思考活動，反映這種思維活動的思維形式就是推理。推理是由一個或幾個已知命題推出新命題的思維形式。
每個推理都包含著兩部分的命題：一部分是已知的命題，它是推理的根據，叫做推理的前提；另一部分是由此而推導出的命題，叫做推理的結論。
這里的推理與傳統數學中的定理證明不同。在傳統數學中，定理的證明實質上是由全是真命題的前提（已知條件）推出也是真命題的結論，目的是證明結論的正確（這樣的結論可以稱為合法結論）。數理邏輯中的推理著重研究的是推理的過程，這種過程稱為演繹或形式證明。在過程中使用的推理規則必須是公認的并且要明確列出，而作為前提和結論的命題并不要求它們一定是真命題，這樣的結論稱為有效的結論。
結論是從前提出發應用推理規則推出的命題公式。證明是描述推理正確或錯誤的過程。要研究推理，首先應該明確什么樣的推理是有效的或正確的。要想知道推理的正確與否，必須寫出正確的推理公式，利用該演示系統求得結果為1，推理必正確，不為1，推理不正確。
二、系統演示
1、命題邏輯有時稱為命題演算，是一種用于命題操作的符號邏輯。特別的，命題邏輯針對邏輯變量進行運算，邏輯變量代表了命題。此外，命題邏輯有時也稱為語句演算或句子演算。命題邏輯主要考察那些或者為真或者為假的陳述性句子。“一個正方形有四條邊。”這樣一個句子的真值為真，“一個正方形有五條邊。”這樣一個句子的真值為假。一個真值確定的句子稱為一個語句或一個命題。一個語句也叫做一個封閉句子，因為它的真值對任何問題都不會不確定。通過在語句間使用邏輯聯結詞，就可以形成復合語句。
第5篇：邏輯中的基本推理方式范文
關鍵詞：數學 邏輯 教學
一、高中數學邏輯
1、現階段高中數學邏輯的基本內容
早在1956年的數學教學大綱中，就首次提出了要發展學生的邏輯思維能力，涉及了“定義、公理、定理”等邏輯基本知識。之后，邏輯知識的學習就成為數學大綱的一個重要組成部分，內容不斷豐富，針對性不斷增強。到2003年，教育部頒布了新的《普通高中數學課程標準(實驗稿)》，其中常用邏輯用語作為單獨的一章被列入高中數學選修1-1和選修2-1中，推理與證明內容作為單獨的一章被列入選修1-2和選修2-2中。其具體要求為學生能了解、體會邏輯用語在表述和論證中的作用，并且能夠利用邏輯用語準確地表達數學內容。經過一定的訓練之后，可以形成自覺地利用邏輯知識對一些命題間的邏輯關系進行分析和推理的意識，發展學生利用數學語言準確描述問題、規范闡述論證過程的能力。
具體而言，高中數學的邏輯教學內容主要涉及常用的邏輯用語和邏輯推理方法。常用的邏輯用語包括：（1）各種命題。（2）簡單的邏輯用語。（3）量詞及命題的否定。（4）四種命題及相互關系。（5）充分條件和必要條件。邏輯推理包括：（1）三段論推理。（2）合情推理。（3）思維要符合邏輯。以上的八個方面基本涵蓋了目前高中數學的邏輯知識類型。
2、高中數學邏輯知識的價值
在高中數學課程標準中，盡管專門的邏輯教學內容不足十課時，但是所涉及的常用邏輯用語和邏輯推理規則及方法卻貫穿于全部的數學知識之中。除此之外，高中數學所學邏輯的價值絕不僅僅限于數學領域，在日常生活的諸多領域都起著非常重要的作用。
（1）應用價值。數學邏輯知識首先是為數學學習服務，上文提過數學是一門抽象的學科，一個命題的成立與否、幾個命題之間的關系的證明都需要邏輯的參與。學好這些簡單的邏輯用語、推理方法及規則是學好數學的前提。在數學領域之外，其同樣也起著重要的作用。例如機器證明、自動程序設計、計算機輔助設計、邏輯電路等計算機應用和理論等都是以這些簡單的邏輯用語和推及規則為最根本的基礎，甚至在經濟、政治、哲學、文學等各個學科中，這些在高中學到的基本的邏輯知識也是必不可少的。
（2）思維價值。數學學科的一個重要目標就是培養學生抽象的邏輯思維能力。瑞士心理學家皮亞杰的心理發展階段論認為，學生在高中階段是以經驗型為主的思維方式向理論型抽象思維過渡的階段，這個時期邏輯思維占主導地位。而此時若進行簡單邏輯知識的學習有利于最大限度地促進學生的思維訓練，促進邏輯能力的培養。
二、高中數學邏輯教學中的問題和相關教學方法
目前在高中數學邏輯的教學中存在著不少問題，有的是因為教師知識儲備和教學方法等方面的原因，有的是因為學生的認知能力有限方面的原因。下面是幾個有代表性的問題和相關教學方法的建議。
1、對命題的理解。課本中的“命題”定義為“能夠判斷真假的語句叫做命題”。但在學習過程中，有的學生認為命題一定要有條件和結論，即命題都可以改寫為“如果……，那么……”的形式。而對于“3>2”，因其不能改寫成“如果……，那么……”的形式，就認為這不是一個命題。為了避免學生產生這種思維定勢，教師在教學中應該不能過多地使用“如果……，那么……”來解釋命題，同時要明確指出“如果……，那么……”只是命題的一種典型的格式而已。
2、邏輯聯結詞的掌握。邏輯聯結詞，主要是“或”“且”“非”三個，是高中數學邏輯知識的重要內容。準確地掌握邏輯聯結詞及其相互間的關系，就可以將復雜的復合命題分解為若干個簡單命題，使命題簡單化。有的學生將數學邏輯語言中的“或”“且”“非”與自然語言中的“或”“且”“非”混淆，辨別不清，產生錯誤。例如“4的平方根是2或-2”，如果“或”理解為邏輯聯結詞，意思是對的；然而理解為自然語言中的“或”就是不恰當的說法，這會讓學生產生疑惑。因此在教學中，教師應該嚴格地區分自然語言和數學邏輯語言的區別，并明確指出兩者之間的差別。因此，上文命題嚴格說法應是“4平方根有兩個，是2和-2”，或直接說成“4的平方根是2和-2”，這樣就不易造成混淆。
三、全稱量詞和存在量詞的理解
第6篇：邏輯中的基本推理方式范文
語義網通過對網頁中的信息增加元數據，以及改善網頁結構等，使得網頁中的信息更加規范。描述邏輯是語義網的邏輯基礎，如果語義網需要對其表達的知識進行推理，則需要運用描述邏輯的推理能力。目前，對于普通表達能力的描述邏輯語言ALC來說，如果不加以優化，很難應用在網絡化的環境之中。本文就此展開討論利用近似化來提高描述邏輯的推理效率。
【關鍵詞】描述邏輯；近似化；網絡應用
【中圖分類號】TP393.08【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）12-0122-02
引言
網絡如今已經成為人們生活不可或缺的一部分，現代生活已經越來越離不開網絡。然而，現有的萬維網技術，是基于超文本標記語言的。由于html的目標在于相同的信息可以被共享，而這些信息沒有元數據標記，格式也不夠規范，因此不利于機器處理這些信息。為了讓機器更好的處理網絡資源，萬維網創始人Tim Berners-Lee認為下一代網絡將是語義網。運用語義網，能夠極大的加強知識共享，提高知識處理的自動化程度。而語義網的技術就是描述邏輯。
1描述邏輯簡介
1.1網狀結構的知識表示：語義網絡和框架表示法比較相似，因此有的研究者把語義網絡和框架表示法統成為槽和填充值。不過在語義上，框架表示法更強調事物的內部結構，而語義網更強調事物之間的關系。
雖然網狀結構的知識表示能夠清晰地刻畫事物的抽象模型，建立層次分類體系、實現特性繼承機制，并且在自然語言處理等應用中取得了很好的效果，但是，由于其缺乏嚴格的邏輯理論基礎，并不適合演繹推理。此時，描述邏輯應運而生。
1.2描述邏輯的內容：描述邏輯是知識表示體系族最近才使用的名字，首先，通過定義該領域內的相關概念，表示一個應用領域的知識；然后，使用這些概念指明出現在該領域內的對象和個體的性質。描述邏輯支持出現在很多智能信息處理系統的應用中的推理模式，它也是人們用來構建和理解世界的：概念和個體的分類。
2近似化推理的基本思想和方法
2.1近似推理的基本思想：近似化推理概念作為一個新的概念，其基本思想如下：在描述邏輯源語言中有個概念C，在描述邏輯目標語言中找出與它最接近的上位或者下位概念D。Groot等[1]對近似方法做了概括，認為近似推理主要可以分為以下三種：
（1）語言弱化；
（2）知識編譯；
（3）近似演繹：近似演繹在推理的過程中，通過減弱邏輯結果的正確性來提高推理的速度[3]。
本文主要探討如果利用近似演繹的方法來對描述邏輯的推理過程進行近似化。
2.2近似演繹的幾種方法：Schaerf等[3]提出的方法有如下好處，良好的語義，良好的計算復雜度，可改良性，兩面性，靈活性。文章對ALE做了深入的分析，并對ALC做了討論，但是文章缺乏實際的測試和分析，Groot等對該方法做了擴展和實現，發現其并不適合當前的大部分本體[1]。Stuckenschmidt[4]提出近似化的方法，通過逐步求精來實現。
Hitzler列舉了一些一階謂詞邏輯中的近似方法，認為它們并不能很好的應用在語義網中[5]。Horrocks[2]的文章主要是對ABox中，個體之間沒有角色關系的一種推理，并不是真正意義上的近似。
3描述邏輯推理近似化
3.1個體獲取的語義計算：個體獲取一般有一下兩種方法：
（1）對于ABox中的個體a，在ABox中增加斷言﹁C（a），如果導致ABox不一致，那么說明個體a是概念C的一個實例。因此遍歷ABox中所有的個體a，就可以得到概念C的所有個體的集合。
（2）TBox中的概念被分類得到一個層次。TBox中的每一個概念都有一個個體集合，該概念是該集合中的個體的最具體概念。如果要獲取概念C的對應個體，那么通過分類，可以得到概念C的所有子概念CSub，CSub的所有對應的個體的和即概念C對應的個體集合。
個體獲取的語義計算依賴于方法2，其主要思想是根據描述邏輯的運算符進行計算。
3.2個體獲取的近似計算：個體獲取的第二個方法是通過概念之間包含關系的計算，得到概念在TBox分類層次中的位置，更精確的說，當需要求概念C的個體集合時，需要通過概念之間的包含關系的判斷，得到概念C的所有子概念，這些子概念對應的個體集合之和就是概念C對應的個體集合。而在TBox中的這些子概念對應的個體集合，是預先通過最具體概念求得的。由于計算概念包含關系是一個NP問題，因此如何通過近似計算來近似地獲得概念包含關系，可以極大的提高個體獲取的速度。為了避免與所有的概念進行比較，可以通過預處理減少需要進行比較的概念的個數。
3.3推理過程的復雜度估計：ALC可滿足問題的推理過程可以視為一個擴展AND-OR樹的過程[6]。其中AND-分支對應于一個節點的所有后繼，OR-分支對應于非確定性規則的應用時的不同選擇。由此可以看出，ALC指數級時間復雜度的來源有兩方面的原因：AND-分支對應于單個模型的指數級規模，OR-分支對應于指數級的概念的模型個數。
OR-分支因為∪運算符的存在而產生。∪運算符使得同一概念可能存在多個模型。ALU是分析復雜度的來源一個較佳語言，其中由交∩，并∩以及對概念名稱的求補操作。實際上，ALU的復雜度，可以由將ALU，歸約為命題邏輯的可滿足性來獲得。許多包含問題的復雜度都是通過發掘時間復雜度的這個來源，把問題歸約為非包含問題來獲得證明[7，8]。
3.4基于分區的近似化：隨著本體論、語義網絡、本體編輯工具等研究的逐漸發展，本體的規模不斷增長，并且不同的本體之間的交互也越來越多。OWL還定義了本體的版本，本體包含、交叉引用等語法。本體規模的擴大對描述邏輯提出了嚴峻的挑戰。為了應對大規模的本體，研究者們提出了分區的概念。應用分區技術，可以大本體分割成較小規模的本體，減小問題的大小，使得本體易維護、易、易驗證、易處理、易近似化。
4總結
隨著網絡的發展，網絡的規模急劇增加，使用傳統的描述邏輯推理方式很難處理這些大規模的知識庫，為了提高描述邏輯的處理效率，基于網格搜索的特點，提出了語義搜索近似化的方法。為了提高描述邏輯的推理效率，一方面從改進推理器本身入手，即有效地利用推理過程中的信息來優化后續的推理過程。另一方面利用近似化的方法，犧牲一定的準確性來提高推理效率。其中分布式描述邏輯，ABox概化這兩種優化措施，將是描述邏輯推理的兩個重要方向。
描述邏輯是下一代網絡，即語義網的一個核心。為了能夠處理網絡環境下的搜索問題，本文對描述邏輯的近似化推理和推理個性化問題進行了較為系統的研究。但是目前語義搜索的實際應用還遠未能成為一個現實，還需要大量學者的共同努力。
參考文獻
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[8]B. Nebel. Computational complexity of terminological reasoning in BACK. Artificial Intelligence， 1988，34（3）：371-383
第7篇：邏輯中的基本推理方式范文
關鍵詞 初中數學 綜合法與分析法 幾何證明
中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0022-02
上個世紀，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”――“為什么現代科技不是誕生在曾經在各個方面引領世界的中國”，而偉大的科學家愛因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛因斯坦論斷”――“希臘哲學家發明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及（在文藝復興時期）發現通過系統實驗可能找出因果關系。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步……”
時至今日，也許是被“愛因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國教育界對幾何演繹推理對于學生邏輯思維能力的教育價值有了深刻的認識，在歐美主要發達國家已經放棄初中幾何演繹推理教學，而只需要學生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時，我國在新課標中依然將幾何推理證明作為初中數學教與學的一個重要內容。
新課標雖然對幾何證明的內容進行了調整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學的最基本能力要求其實并沒有降低，課標中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程要求做到事實準確、道理嚴密、證明過程完整。
幾何證明作為初中數學教與學的一個重點和難點，其難點在于如何運用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學生分析問題、嚴密邏輯思維推理、語言組織表達等能力。而教師在平時教學中常常遇到學生不知從何下手，分析思維模糊不清，書寫證明張冠李戴，欠缺嚴密邏輯推理等，更有甚者是毫無頭緒。
初中學生的幾何證明學習在內容上要經歷從“直觀”到“論證”的轉軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過渡，而學生開始學習幾何證明，沒有適應論證數理的答題模式、語言表達方面的特別要求，從而難以適應從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學生構建從內容到形式，從題設到結論的“橋梁”就顯得非常必要了。
為此，我構建了一種統一綜合法與分析法，讓學生易于溝通題設和結論，便于分析問題、書寫解題過程、拓展解題思路又易于被學生接受和掌握的教學方法，并堅持在實際教學中運用，取得了良好的效果。請看示例：
例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點，且OC=OD，連結AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.
分析：
OE平分∠AOB
∠1=∠2
OCE≌ODE OAE≌OBE
OC=OD，OE=OE OA=OB，OE=OE
CE=DE AE=BE
ACE≌BDE
AC=BD，∠3=∠4，
∠A=∠B
OAD≌OBC
OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC
（條件具備，即得證）
該題是學生初學幾何證明問題中較難的一道利用全等三角形解決的問題，分析過程中的“”表示“要證明…，只需證明…”，“”符號右側的文字表示已經具備的條件，而分析過程中的“”表示實現該目標有多條路徑可以實現。顯然，這種利用圖示在黑板上板書出來的過程，不僅能顯示解題過程的來龍去脈，鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，還能讓學生順著箭頭的方向，準確地書寫出正確的解題過程，培養學生嚴謹的治學態度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書寫的幾何教學原則。分析過程中顯示出的一題多解更是培養學生思維多樣性的利器。
例2 如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，切點為B，OC∥AD。求證：DC是O的切線。
分析：
DC是O的切線
連接OD
∠ODC=90
∠OBC=90俊C是O的切線
∠ODC=∠OBC
ODC≌OBC
OD=OB，OC=OC
∠COD=∠COB
∠COD=∠ODA，∠COB=∠OADOC∥AD
∠ODA=∠OAD
OD=OA（條件具備，即得證）
第8篇：邏輯中的基本推理方式范文
【關鍵詞】同義反復/事實真理和邏輯真理/命題的邏輯內容
【正文】
邏輯真理是重言式，重言式是永真的，其永真性必然地導源于它的同義反復性。[1] 維特根斯坦最先明確表述的這個關于邏輯真理的觀點已經成為現代邏輯學中的正統。邏輯真理為什么是同義反復的？正統的觀點似乎認為，沒有更好的理由來解釋重言真理的永真性，因此邏輯真理的必然性只能導源于其同義反復性。[2] 在下文中我將舉出一些在我看來較充分的理由來論證事實并非如此。實際上大部分重言式都不是同義反復的；如果全部重言真理都必然地具有同義反復性，則經典演繹邏輯系統的大部分定理將不能從該系統中推出來，因為在那種條件下經典演繹系統的推演能力將是非常弱的。
一、論邏輯真理的本性
所謂“同義反復”從直覺上講有兩層意思：其一是指一推理的后件的內容包含于其前件的內容之中，其二指推理的前后件的內容完全相同，無論該前后件的形式是否相同。關于經驗命題的事實內容大小的測度是著名地困難的；就我所知，關于邏輯命題的邏輯內容大小測度的問題，前輩邏輯哲學家似并沒有專門研究過。然而，若要弄清重言真理到底是否必然地為同義反復的，我們就必須找到一種方法，由此可直接衡量有關邏輯命題的邏輯內容之大小，進而判定有效推理在邏輯內容上是否是可擴大的。
經典邏輯推理以實質蘊涵為基礎，數學命題推導的有效性又由邏輯推理的規則所保證。因此可以說實質蘊涵是一切經典形式科學的基礎。但現在的問題是，邏輯學家將實質蘊涵命題pq定義為p∨q，也就是說，在p和q的4種可能的真值組合中，只有事態p∧q使pq為假， 其它三種事態p∧q、p∧q、p∧q都使其為真；這就與日常生活和科學實踐中人們關于事實真理的推理之看法有了很大的差異。邏輯學家為什么要這么定義實質蘊涵？就我所知，前輩邏輯哲學家似乎沒有就此提出過合理的說明，而只是進行一些實用的解釋。比如羅素曾說過：為了使從p得出q這一推論是正確無誤的，只須p為真和命題“非p或q”真；這種蘊涵關系對數學推理來說是足夠的。[3] 塔爾斯基也表達了與此相同的觀點，并指出，將實質蘊涵作為數學推理的基礎不僅非常方便，而且還取得了十分令人滿意的效果。[4] 然而對實質蘊涵的這種實用解釋并不能滿足我們的理論興趣，更何況實用根本上乃是偶然的，無法說明重言真理的必然性。我們需要的是對實質蘊涵之所以如此定義的一個邏輯哲學上合理的解釋。
在日常生活和經驗科學研究中，關于因果性的命題可以表述為條件句的形式。就經驗知識而言，因果條件句的真值條件如何？倘若一因果條件句的前后件都是真的，則它就被認為是真的；當一條件句的前件真而后件假時，它便被認為是假的；而當一條件句的前件假時，則無論其后件的真值如何，該因果條件句都被認為并未斷言任何內容，它是無真值的。就事實真理觀來說，因果條件句具有上述的真值條件似應無可置疑。因為人們不僅在日常生活中對因果條件句的真值持這種看法，而且在對科學命題的證實或確證中也是這么行事的。在科學實踐中作為證實或確證原則而普遍適用的尼柯標準規定[5]：任一全稱條件句形式的假 說比如“所有的烏鴉是黑的”，都可符號化為（x）（F[，x]G[，x]）（1），對命題（1）來說，一個具有F[，a]∧G[，a]形式的個體確證它，一個F[，a]∧G[，a]個體否證它，而F[，a]∧G[，a]和F[，a]∧G[，a]與對（1）的確證不相干。這表明就事實真理觀來說，（x）（F[，x]G[，x]）（1）肯定的是所有的F[，a]∧G[，a]，它排斥的是任一個F[，a]∧G[，a]，而對F[，a]∧G[，a]和F[，a]∧G[，a]沒作任何斷言。另一方面，根據邏輯學的定義，（1）斷言的是F[，x]G[，x] 的所有替換事例都是真的，即F[，a]G[，a]、F[，b]G[，b]…等等都是真的。[6]由此看來，（1）獲得確證和否證的邏輯機制便十分明顯了。 為什么我們觀察到F[，a]∧G[，a]時就對（1）進行了一次確證？因為F[，a]∧G[，a]使（1）的一個替換事例F[，a]G[，a]為真，而（1 ）斷言的是所有它的替換事例都是真的，故而這就達到了對（1）的一次確證。同理，如果我們觀察到F[，a]∧G[，a]就使得（1）的一個替換事例F[，a]G[，a]為假，從而使得（1）關于其任何替換事例都為真的斷言不成立。與此相應，當我們觀察到F[，a]∧G[，a]或F[，a]∧G[，a]時，與對（1）的任何一個替換事例的證實和否證都不相干，故相應地亦與（1 ）所斷言或排斥的內容不相干。
以上討論使我們清楚了，就經驗知識所涉及的范圍而言，事態p∧q使因果條件句pq為真，事態p∧q使其為假，而p∧q和p∧q與對它的證實不相干。容易引起爭議的是，具有什么樣真值條件的條件句才可算作因果條件句，這個問題由于一時難以澄清，況且與本題并無直接關系，讓我們暫且擱置不論。在這里我們只需作一個推斷：上述真值條件是作為因果條件句的必要條件，但是否是作為因果條件句的充分條件暫且不論。
由此可知，就經驗和形式知識而言，對條件句pq可從事實真理觀和邏輯真理觀兩個方面來理解。作為經驗知識的因果句和作為形式知識的蘊涵句在使其為假的事態上是完全一樣的，即僅p ∧ q使它們為假；但在使作為知識的條件句pq為真的事態的看法上，事實真理觀和邏輯真理觀卻有了差異。究其原因，乃因為，一般而言事實真理的本質在于命題對相關事態的“符合”，這里只取這種“符合”的直覺含義。事實真理觀將其前后件都為真看作是因果句之唯一的為真的真值條件，正滿足了這種“符合”直覺。而倘若我們對邏輯學關于邏輯常詞的有關定義作一番細致深入的反思，就不難發現，邏輯真理實質上無非是邏輯命題必然地排除使得自身為假的事態的方式而已。邏輯真理既必然地不可能為假，又必然地不可能只在“符合”的意義上為真；由此便得出，與事實真理的實質在于“符合”不同，邏輯真理的實質在于必然的排假。僅當在必然的排假的意義上邏輯真理才可必然地為真，“符合”意義上的真理總是偶然的。
從歷史上看，真假的觀念最先起源于經驗知識方面，邏輯知識中的真假概念只是對它的引申而已。在事實真理觀看來，對一命題而言，在諸相關事態中，有的事態使其為真，有的事態使其為假，而其它事態則對該命題真值的確定無關。然而邏輯真理觀卻將那些與一命題真值無關的事態都定義為可使該命題為真；比如將p∧q和p∧q都定義為是使pq為真的真值條件。邏輯學家們為什么要這樣定義？簡單地講，乃為了使邏輯學中所謂（與假相對而言的）真之實質不在于“符合”，而在于排假，從而保持邏輯命題的二值性，以為邏輯真理之重言永真性奠定最廣闊的基礎；我們在下文的討論中將要表明，沒有這種定義所奠定的廣闊基礎，邏輯真理將只可能建立于嚴格的同義反復的狹隘基礎之上，這種條件下的邏輯真理從實質上看的確瑣屑無聊。因此，邏輯真理之所以是永真的，或必然地不為假的，乃因為邏輯真理必然地排假，除此之外再無其它邏輯可能性。這即是邏輯推理的有效性的根源。
二、論有效演繹推理之邏輯內容的必然保真的可擴大性
倘若關于邏輯真理的這個觀點能夠成立，我們便可由此出發來論證有效的邏輯推理無論在事實內容方面還是邏輯內容方面都可是必然保真擴大的；換言之，在這兩個方面有效推理都可不具同義反復性。以重言式pp∨q（2）為例，在事實真理觀看來，（2）之前件p所斷言的事實內容為p，而既然合取命題p∧q和析取命題p∨q 所斷言的內容在事實真理觀和邏輯真理觀來看基本相同，則我們就可認為（2）之后件p∨q 所斷言的事實內容即為p∨q。這樣從p所斷言的事實內容p為真，可推出p∨q所斷言的事實內容p∨q為真，但p和p∨q在自然語言中絕不必然同義，因而p∨q之事實內容也不必然地與p的事實內容相同或包含于其中。試設想一個使用自然語言十分嚴肅的場合比如法庭審判，假設p表示“A犯了謀殺罪”，p∨q表示“A犯了謀殺罪或A違反了交通規則”。在這里當p真時，p∨q亦必真。按正統的觀點，pp∨q既是同義反復的，那么在p和p∨q的事實內容的關系上就有兩種可能性：或者p∨q 的事實內容包含于p的之中，或者p∨q的事實內容與p的是相同的。不過既然p 是沒有邏輯結構的原子命題，則p的事實內容就是構成命題的獨立的最小意義單位。因此，p∨q的事實內容便不可能是p的事實內容之一部分（即包含于p的之中），因為作為命題，p∨q的事實內容不可能比p的事實內容更小。所以唯一的可能是p∨q的事實內容與p的事實內容相同。 現在如果法庭認定p為真，則應依法對A處以極刑。可如法庭不知p為真，只認定p∨q為真，則無論怎樣分析p∨q的意義也不能依法處A以極刑，因為嚴格地講，p∨q僅表示關于兩個事實的可能性而非確鑿的事實。但若p∨q與p果真同義（即它們的事實內容相同），則法庭只須分析清楚p∨q的涵義就應依法對A處以極刑，就像在認定p真時所該做的那樣。可法庭是無權只根據關于事實的可能性就依法給被告定罪的，即使這種可能性有著所謂充分的證據。所以p∨q和p在事實內容上并不同義，就此而論，p∨q的事實內容大于p的事實內容，重言推理pp∨q在事實內容方面必然保真地擴大了。
另一方面，重言推理在邏輯內容上也是可必然保真擴大的。然而確切地講，什么是邏輯命題的邏輯內容？邏輯真理的本質既在于必然的排假，那么我們就可運用邏輯命題所排除之事態的大小來定義命題的邏輯內容。但內容是一個相對的概念，只有在與其它內容的比較中一內容才可得到自身明確的定義。并不是任意兩個邏輯命題的邏輯內容都是可比較的，正如并非任意兩個事實命題的事實內容都是可比較的一樣。我們必須運用邏輯命題的排假方式（即使得該命題為真的真值條件）和命題使用這些排假方式所排除之事態（即使得該命題為假的真值條件）的結合來為命題的邏輯內容下定義：僅當兩個邏輯命題的排假方式以如下形式相聯系，使得在這兩個命題分別作為一推理的前后件時，該推理的形式是個重言式；在這種條件下，這兩個命題的邏輯內容才是可比的，而這些命題所排事態之大小就是衡量它們邏輯內容大小的標準。換言之，只有有效推理之前后件的邏輯內容才是可比較的，因為我們只對有效推理感興趣，只有有效推理所產生的結果才可作為邏輯知識，根據上述定義，命題pp∨q（2）既是個重言式，其前后件的邏輯內容就是可比的。（2）之前件所排事態為p，其后件所排事態則為p∧q，其后件所排事態明顯地大于其前件所排之事態，故命題（2 ）為邏輯內容必然保真擴大推理。重言命題（3）p（qp）的情況也一樣，因為它的后件所排事態q∧p明顯地大于其前件所排事態p。同理，（qr ）［p∨（qr）］（4）之前件所排事態為q∧r，其后件所排事態為p∧（q∧r），其后件所排事態亦明顯地大于其前件所排事態。故（2）、（3）和（4）之前后件都并非是同義反復表達式：它們因此都是必然保真擴大推理。此外，重言式p∨p排除的是矛盾式p∧p，后者表示不可能事態，故凡是排除可能事態的命題之邏輯內容都大于p∨p的邏輯內容。而p∧p既是永假式，則就沒有任何邏輯內容。
然而我們現在似乎遇到了一個反例；為了弄清這一點，首先讓我們考察一下邏輯等值意味著什么。按照傳統的觀點，邏輯等值命題的內容是相同的；確切地講，按照我們的觀點，就兩個等值命題的關系而言，邏輯等值式實際上乃表示等值命題可用互相通用的方式對同一使它們為假的事態的排除。以pqp∨q（5）為例，該等值式表示，在p和q的4種可能的真值組合中，其左右支均可用p∧q、p∧q、p∧q這三種方式排除唯一使它們為假的事態p∧q。既然pq和p∨q所排除之事態和所用之排假方式都相同，故它們的邏輯內容完全相同，（5 ）式之重言性就表明了這一點。但是，命題（6）pp∨（q∧q ）也是重言等值式，由于p∨（q∧q）可變形為（p∨q）∧（p∨q），根據（6），pp∨q（2）即可表示為（p∨q）∧（p∨q）p∨q（7），在p和q的4種可能真值組合（事態）1.p∧q、2.p∧q、3.p∧q、4.p∧q中，（7）之前件排除3和4事態，而其后件僅排除3事態，因此（7）之前件的邏輯內容大于其后件的邏輯內容。p既與（7 ）之前件邏輯等值，p的邏輯內容就應大于p∨q的邏輯內容； 這對我們在前面關于pp∨q（2）在邏輯內容上是必然保真擴大推理的論證是個反例，它促使我們進一步地去研究邏輯等值到底意味著什么。
為了較精確表述起見，我將“邏輯內容[，1]”定義為可使有效推理的前后件都具有真值的原子事態如p、q、r等， 由這類原子事態所組成的復合事態如p∧q等亦屬這個范疇；將“邏輯內容[，2]”定義為只使有效推理的前后件之一個具有真值而不能使另一個也具有真值的（原子）事態。再以pp∨q（2）為例，p可使（2）之前后件都具有真值，當p出現時，其前后件都為真，故p對（2）而言是邏輯內容[，1]。另一方面，q只能使（2）之后件p∨q具有真值，卻不能使其前件p具有真值，因 為p的真值與q是否出現無關，q對于（2）即是邏輯內容[，2]。具體說來，（6）可改寫成pp∧（q∨q）（8），而（8）之左支所排對象為p，其右支所排對象為p∨（q∧q），在這里對（8）而言，由于其左右支都排除了p，故p是邏輯內容[，1]；而（q∧q）則涉及到了可能事態q。因為q∧q作為復合命題雖表示不可能事態， 但其由以構成的原子命題卻涉及了可能事態q，這一點在推論中對有關命題的邏輯內容的確定起到了重要的作用。如果說任何命題的確立都是以否定矛盾式為前提的，那么（8）之左支p所排除的矛盾式應是（p∧p）而不是（q∧q）。簡而言之，（8）之左右支所排邏輯內容[，1]相同，但其所排邏輯內容[，2]卻不同。聯系到前面對等值式的討論，可知等值命題之左右支所排邏輯內容[，1]是相同的，可如涉及了邏輯內容[，2]［像（8）那樣］，則它們所排邏輯內容[，2]自然并不相同。如此說來，（8 ）之左右支的邏輯內容[，1]相同，但其右支涉及了作為邏輯內容[，2]的q，其左支與q無關，故（8）之右支的邏輯內容[，2]大于其左支的邏輯內容[，2]。由此可知，諸邏輯等值命題的邏輯內容[，1]必相同；但如果其中一命題論及了而另一命題卻沒有論及邏輯內容[，2]，則當然前一命題的邏輯內容[，2]大于后一命題的邏輯內容[，2]。這樣，回過頭來再考察前面所述的那個反例，即可看出，p的邏輯內容[，2]小于（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內容[，2]；但它們的邏輯內容[，1]則相同，這使得p和（p∨q）∧（p∨q）在有效推理中可互相等值地代換而不影響推理的有效性。這就說明了何以pp∨q（2）是并非同義反復的重言式，而從（2）通過（6）推導出的（p∨q）∧（p∨q）p∨q（7 ）卻是同義反復的重言式的緣故。因為p∨q的邏輯內容[，2]大于p的邏輯內容[，2]， 盡管它們的邏輯內容[，1]相同，因此pp∨q（2）是邏輯內容擴大的重言推理。另一方面，（7）之前件（p∨q）∧（p∨q）的邏輯內容[，1]大于其后件p∨q的邏輯內容[，1]，由于（7）的前后件涉及的事態完全相同，使得（7）沒有邏輯內容[，2]，故（7）是同義反復的重言式。而由（2）的非同義反復性推出（7）的同義反復性，乃是利用了（6 ）的邏輯內容[，2]之擴大性的緣故，換言之，在通過（6 ）從邏輯內容上具有非同義反復性的（2）推出（7）的過程中，就將（6 ）的所擴大了的邏輯內容代入了（2）之前件從而得出了（7）的同義反復性。至此即可得出，（2）和（3）p（qp ）的并非同義反復性都導源于它們的邏輯內容[，2]的擴大。（3）之后件所排對象為q∧p，其前件所排對象為p，所以其后件在邏輯內容[，2]上大于其前件。p（pq）（9）的情況也一樣，（9）之前件所排對象為p，其后件所排對象為p∧q，故（9）之后件的邏輯內容[，2]大于其前件的邏輯內容[，2]。另一方面，以p∧qp（10）為例，其前件所排對象p∨q， 其后件所排對象是p，因此（10）之前后件的邏輯內容[，1]相同，可其前件的邏輯內容[，2]大于其后件的邏輯內容[，2]，故（10）是同義反復的。
綜上所述，我們似已有較充分的理由作出如下推斷：有效邏輯推理在邏輯內容上有不擴大（同義反復）的和擴大（非同義反復）的兩類。有效推理的邏輯內容[，1]必不是擴大的；而凡是并非同義反復的有效推理，其邏輯內容的擴大必是其邏輯內容[，2]的擴大之所致。從理論上講，這是因為根據有效推理的邏輯本性，其前件為假的真值條件的數目不可能少于其后件為假的真值條件的數目，否則即為無效推理。這事實使得有效推理的邏輯內容[，1]必不是擴大的；換言之，有效推理的必然保真性使得其邏輯內容[，1]必具不擴大性。此外，這事實并不排斥有效推理在邏輯內容[，2]上的可擴大性；換言之，其邏輯內容[，2]的可擴大性，使得有效推理可具有必然保真的并非同義反復性。事實上，我們現在已有理由斷言，大部分重要的重言式都因此而具有非同義反復性。
到此為止，我們自然會面臨這樣的問題：既然有效推理將其前件的真必然地傳遞到了其后件的真之上，那么有效推理的內容何以能擴大？事實上根據前面的分析經驗我們便可知道，有效推理的前件可在事實真理意義上為真，而其后件則可在邏輯真理意義上為真，在這種條件下，有效推理并非將其前件事實的真必然地傳遞到了其后件之上，因為其前后件是在不同意義上為真的。再以命題（3）p（qp）為例，（3 ）之前件p沒有邏輯結構，故只能在“符合”的意義上為真，但（3）既是重言式，其后件qp中的q就可取任意真值，因此其后件qp 只能在排假的意義上為真。當（3）之前件為真時， 其后件是在不同意義上必然為真的；而在此條件下如（3 ）的后件之為真確實只能來自于其前件之為真的傳遞，則（3）之前后件就必然地只能在相同的意義上為真。 所以（3）之為永真式不可能是因為（3）將其前件p 對某事態的符合必然地傳遞到了只是作為排假方式的其后件qp之上，而是因為（3 ）之前后件各自排假方式的邏輯結合使得（3 ）必然地排除了使它為假的真值條件p∧（qp）。我還可以舉出一個論據來支持這個論點， 那就是當p為假時，（3）仍是有效的，即仍具有必然保真性。這事實理應會使那種只用“真理的傳遞”來解釋重言推理之必然保真性的觀點不能成立，因為如（3）的有效性果真必然地只來自于對真的傳遞， 則在這種完全沒有任何意義上的真理的傳遞的情況下，（3 ）必不再具有必然保真性（有效性），但事實上（3）仍是永真（有效）的，因為（3）永在排假。另以qp∨p（11）為例，當其前件q為真時，只能是事實的真，其后件p∨p本身乃是重言式即邏輯真理，我想這便足以證明了，（11）之為重言式不可能由于其后件的真必然地來自于其前件的真的傳遞，一個偶然的真是不可能產生必然的真的；（11）之重言永真性只可能得自于（11）自身的邏輯形式。總之，當其前件為真時，有效推理之后件的真的必然性，并非必然地來自于有效推理之前后件為真的相同性，而是必然地來自于有效推理之前后件的排假方式之結合使得有效推理的邏輯形式必然地排假，后者之所以會產生，則根本上導源于邏輯學對邏輯常詞的定義，主要是邏輯學家將假命題之外的一切命題都定義為真。所以嚴格地講，邏輯真理之永真性必然地來自于邏輯學根據邏輯基本規律將假命題以外的一切命題都定義為真；換言之，來自于將邏輯真理定義為邏輯命題的必然的排假方式；有效推理的事實或邏輯內容之必然保真地擴大根本上即導源于此。既然邏輯真理觀將邏輯命題真值的二值性絕對化了，只要一邏輯命題必然地不假，它就必然地為真。邏輯真理的這種永真性表明了，邏輯真理不是對某具體事態的“符合”而是對可能經驗（事態）由以呈現的基本框架的顯示，這種顯示依重言式的本性是不可能出錯的。此外，倘若其前件為真時，有效推理的后件之為真的必然性只來自于有效推理將其前件的真傳遞到其后件之上，則作為經典演繹系統基礎的命題邏輯的推演能力將是非常弱的，因為這樣的話，只能有一小部分重言式（即那些同義反復的重言式）才可以從該系統中推出來，而其它許多因其具有并非同義反復性故而更重要的重言式，將不能從該系統中推出來，因為這些重言式之為永真明顯地于這種所謂“真理的傳遞”即在為真意義上的同義反復無關。前述p（qp）和qp∨p等等重言式即屬此例。換言之，如果只有具有同義反復性的重言式才是命題邏輯的定理，則命題邏輯系統將是不完全的；所以已獲證明的命題邏輯系統的完全性就足以證明了重言推理的有效性不必然來自于這種“真理的傳遞”。
按照傳統的觀點，在經驗科學中科學家使用邏輯推導一般服務于兩種基本目的：其一是從一為真的事實命題出發，經過特定而有效的邏輯推導，以將被前提所包含的內容用清晰或便于操作的形式表達出來。其二是從一假說推導出可觀察的結論，以檢驗該假說的真實性。如果有效邏輯推理的內容果真是可必然保真地擴大的，那么在這兩個方面會產生什么影響？先看第一個方面。一般而言，科學中的傳統認為，從一為真的事實命題出發，無論經過怎么復雜曲折的有效推導，最終結論的內容總歸仍是處于其前提的斷言范圍之內。然而，從另一方面來看，實際上科學實踐本身早已為我們作出了有關啟示：在對一為真的前提所作的科學推導的過程中，邏輯推導的步驟無論經過多么嚴格的檢驗，所推出的結論必須經過觀察的確證方可最終得以確立或生效，這乃是經驗科學研究中的通例。科學家們為什么要如此行事？按照我們在上文中所表述的觀點，可靠的推理的結論與其前提可在不同的意義上為真。這就意味著，可靠推理的前提可以斷言的是一回事，而其結論可以斷言的是另一回事，盡管該結論是不可能為假的，但該推理的前后件所斷言的內容在事實真理觀看來卻可并不相同乃至并不相干。事實上，經驗科學中凡意義重大的推理大部分都是這種性質的推理。這表明，即使在科學研究中所做的推理是可靠的，最后所得出的結論的內容也很可能在原則上而非僅僅在形式上是新的，因此最終只有觀察才能告訴我們該推理所產生的結論到底斷言的是什么以及其斷言的內容是否為事實真理；因為所推出之結論有可能是在排假意義的邏輯的真。
至于觀察對從一假說推導出的結論的檢驗作用到底說明了什么這問題，除了從假說直接推導出可觀察結論這一簡單的方面以外，更復雜的一方面由于確證悖論的存在，一直爭議很大。就假說“所有的烏鴉是黑的”（x）（F[，x]G[，x]）（1）而言，由于它邏輯等值于另一命題“所有的非黑色的東西都是非烏鴉”（x）（G[，x]F[，x]）（12），并且傳統認為邏輯等值命題的內容是完全相同的，因此一個非黑色且非烏鴉的東西（G[，a]∧F[，a]）比如我的手表既然是命題（12）的確證事例，則亦應是（1）的確證事例，但這是非常違反直覺的， 不過按我們在本文中所闡明的方法，這個疑難則不難澄清。我們已經論證了，在不涉及邏輯內容[，2]的情況下，所謂邏輯等值只表明等值命題的邏輯內容是相同的，但它們的事實內容則可并不相同，就（1）的替換事例F[，a]G[，a]（1′）和（12）的替換事例G[，a]F[，a]（12′）而言，（1′）的事實內容為F[，a]∧G[，a]，（12′）的事實內容則為G[，a]∧F[，a]，這說明（1′）和（12′）盡管邏輯等值， 但事實內容卻并不相同。而科學確證或證實只能是對科學命題的事實內容而非邏輯內容的確證或證實，故（1′）和（12′）的證實事例不可互換使用。將這道理推及到（1）和（12）上，則表明（1）和（12）的確證事例不可互相通用。由此可得出，就科學實踐而言，當我們要檢驗一個假說時，企圖通過使用該假說的等值命題的更好操作的確證事例來確證該假說，在理論是無效的，如果這些等值命題的事實內容不同的話。比如我們找到（12）的確證事例G[，a]∧F[，a]并不能在嚴格意義上確證（1），因為G[，a]∧F[，a]的出現只能起排假的作用，即排除了使得（1）和（12）為假之事態F[，a]∧G[，a]出現的一次機會；但這同時也減少了（1）的確證事例F[，a]∧G[，a]出現的一次機會；故G[，a]∧F[，a]的出現不能提高（1）的真實（確證）度。因此， 就從一假說經過等值變換所推導出的便于觀察的結論而言，如該推導的前后件在事實內容上是不相同的，則觀察對該結論的成功檢驗并不能在嚴格意義上確證該初始假說，而只能起到排除該假說的否證事例實際出現的機會的作用。倘若固守等值條件的普遍有效性，不考慮等值命題的事實內容是否相同，只根據它們的邏輯內容相同就斷定等值命題的確證或證實事例是可互相通用的，那么我們就很容易據此確證或證實不存在的東西的存在。舉例來說，如設“所有的獨角獸都是有尾的”可符號化為（x）（B[，x]R[，x]）（13），獨角獸既不存在，（13）當然不可能有確證事例和事實內容。但（13）與（x）（R[，x]B[，x]）（14）邏輯等值。若認為凡等值命題的確證事例都可互換使用，則（13）就可因R[，a]∧B[，a]這類事例而得到確證，因為R[，a]∧B[，a]乃是（x）（R[，x]B[，x]）（14）的確證事例，而（14）的確證事例R[，a]∧B[，a]（意即無尾且不是獨角獸的東西如我的手表等）是隨處可找到的。事實上，按照該思路，我們可以從經驗的東西，通過邏輯手段符合科學程序地確證或證實一切虛構的東西的存在。（13）沒有事實內容，而（14）則有很容易得到確證的事實內容，盡管（13）和（14）是邏輯等值的，這事實難道不是有力地表明了科學確證或證實只能是對命題的事實內容而非邏輯內容的確證或證實嗎？如果我們將命題的事實內容與它的邏輯內容區分開來的工作是有效的，那么等值條件所持的等值命題的全部內容都是相同的觀點就只適用于等值命題的邏輯內容，而不適合于它們的事實內容了。
參考文獻
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[4]塔爾斯基：《邏輯與演繹科學方法論導論》，周禮全等譯，商務印書館，1989年版，第25頁。
第9篇：邏輯中的基本推理方式范文
關鍵詞：結構主義；現代邏輯學；結構；關系
關于數學與邏輯的關系問題，費雷格學派主張：“數學是邏輯學的一個分支”；布爾學派則認為：“邏輯學是數學的一個分支”[1]220。不爭的事實則是：邏輯學與數學不能相互剝離，它們“血脈相連”、“生命相依”，二者“你中有我，我中有你”[1]220。從邏輯學和數學雙重視域來看，形式化的現代邏輯學可以說是應用數學的一個分支，其高度抽象性和形式化特征決定了它像數學一樣具有廣泛的應用性。現代邏輯學的蓬勃發展，離不開對邏輯進行哲學反思。
邏輯哲學就是對邏輯進行哲學反思的科學。而數學哲學是數學的基礎，“是研究數學的本體論、認識論和方法論以及其他問題的知識體系”，數學哲學研究的問題最后都會涉及到數學與邏輯的關系[2]15。雖然邏輯哲學與數學哲學在研究的論題、研究的視角、研究的側重點和研究方式等方面都有所不同，但是由于邏輯(尤其是形式化的現代邏輯學)與數學具有如下共同特征：純形式化特征、高度抽象性、極端精確性和嚴格性、廣泛的應用性[2]15-16。這些共同特征以及數學和邏輯學常常具有一批共同或類似的課題，決定了邏輯哲學和數學哲學具有非常密切的關系。因此，從某種意義上說，對邏輯的哲學思考，很大程度上就是對數學的哲學思考。就像邏輯學與數學不能相互剝離一樣，邏輯哲學和數學哲學其實也是很難剝離開來的。
20世紀以來，結構主義在數學哲學中占據著主導地位，那么結構主義是否在邏輯學中也有所反映呢？這正是本文要探討的問題。
一結構主義的四大學派及其基本觀點
19世紀，在微積分的算術化和集合論的建立基礎上，逐步形成了數學基礎的三大學派——邏輯主義、形式主義和直覺主義。邏輯實證主義者主張哲學唯一合法的研究領域是邏輯學，數學哲學則是研究數學語言的邏輯句法學和邏輯語義學[3]9。
20世紀初，哥德爾提出的不完全性定理說明，邏輯分析以存在建構自身作為參照，不然則會陷入無窮回歸；而邏輯分析則是在集合論語言的基礎上建構數學存在，這些觀點蘊含了結構主義的思想[3]9。20世紀60年代，奎因認為，約束邏輯變元的取值其實就是存在，哲學本體論可以通過語言加以研究，利用語言可以研究存在，結構主義因而進行了數學哲學的范式轉換。關系與其所依附的所有個體共同組成結構。根據結構所依附的個體的不同類型來看，數學結構主義主要包括四大學派：集合論結構主義[4]184-211[5]、先物(anterem)結構主義[4]188-198、范疇論結構主義[6][7]、模態結構主義[8]。
集合論結構主義使用模型論中熟知的方式，來描述數學結構及其相互關系。模態結構主義，不是通過對結構或位置進行字面上的量化，而是通過借助于適當的關系和定義域的(二階)邏輯可能性，來滿足經典公理系統的隱含定義條件[4]185。先物結構主義則主張：利用結構中的位置可以定義數學對象，數學對象的指稱則要求結構與能夠例示它們的任何系統是相互獨立[9]；數學公式能夠由相干公式來描述，而且這些相干公式能夠由實際存在的先物結構來滿足[10]。范疇論結構主義本質上是通過一系列結構保持映射，為數學結構提供系統概念，從而為數學作出哲學解釋[7]。夏皮諾(Shapiro)認為，雖然這些學派有著明顯的區別，但是，不論是從主流數學的目的來看，還是從某種更深層次的哲學意義來看，這幾大學派其實是等價的。例如：處理哲學問題的一種方法與處理這種問題的其他方法，具有關聯性，這種關聯性可以通過系統間的自然轉換來表達[4]184。這些學派通過語言的途徑，把數學哲學引向了對意義和真理的探討以及對數學對象的存在建構[3]10。
結構主義對數學存在的語言建構是建立在邏輯主義、形式主義和直覺主義這三大學派的研究基礎之上的。這三大學派認為：結構主義可以利用語言框架來建構數學對象，這一點在模態結構主義和集合論結構主義中表現得尤為明顯，這使得結構主義的本體論建構與作為數學基礎的邏輯研究之間能夠建立起密切的關系，從而為邏輯學與本體論之間搭建了溝通的橋梁[3]12。范疇論結構主義掙脫了邏輯語言的束縛，創立了嶄新的本體論語言，在把語言納入存在的內涵的同時，還把存在上升到了語言的境界，并通過集合論與邏輯語言保持緊密的聯系，從而使得存在建構能夠像邏輯建構那樣成為嚴密的科學[3]13。
二現代邏輯學具有結構主義特征
形式主義是20世紀上半葉出現的一種數學哲學思潮，它是極端唯名論在數學中的具體體現。而形式化則是現代邏輯學最重要的研究方法。形式化過程一般包括：進行預備性研究、構造形式系統并對其進行解釋、關于形式系統的元邏輯研究這幾大步驟[2]124-130。具體地說，對現實世界進行模擬的現代邏輯學形式系統，一般都遵循這樣的研究思路：首先，根據研究對象給出一個沒有歧義的形式語言，目的是規定哪些符號串是所研究的形式系統的合式公式；其次，給出這一形式語言的語義解釋，這需要利用賦值給出合式公式有效性定義；然后，給出這一形式系統的公理和推理規則；再次，根據這一形式系統的語言、語義、公理和推理規則，尋找相關定理；最后，研究系統的可靠性、完全性、可判定性和復雜性等等。
哲學本體論是研究隱藏在真實世界背后存在的最高本質，即對本體、屬性和關系進行哲學思考。因此，現代邏輯學本體論的現實原型就是現實世界的本體、屬性和關系。從科學哲學的視角看，不論是計算機科學、應用數學，還是邏輯學，一般都遵循著相同的研究思想——結構主義的研究思想：重要的不是個體對象、集合，而是所研究對象的結構以及結構之間的關系。正如高斯所說：“數學是關于關系的科學，從關系中可以抽象出任何概念。”彭加勒也認為，“數學家不是研究對象，而是研究對象之間的關系”[11]1-34。計算科學的基本特征就是研究對象的構造性的數學特征，并利用定義和解釋，在對現實中的對象進行抽象和模型化的基礎上，給出相關定理的證明[12]89。
從19世紀末以來發展起來的數理邏輯、模態邏輯、動態邏輯(包括命題動態邏輯、量化動態邏輯)、認知邏輯、廣義量詞理論、類型邏輯語法、范疇類型邏輯等邏輯分支，都或明或暗地采用了結構主義的方法，即對象的結構化的總體特征常常靠利用公理化方法、對象間的映射與同構來加以研究。從20世紀以來，作為數學哲學的結構主義，就已經成為研究邏輯學的主導方法，在模態邏輯、命題動態邏輯、廣義量詞理論和范疇類型邏輯中表現得尤為突出。從總體上看，結構主義的特征在邏輯學一直或隱或顯地存在著，正是這一結構主義特征激發了邏輯學界、科學哲學界等對結構主義進行深入研究的興趣。
筆者認為：不論數學結構主義有多少種學派，也不論各學派之間有何分歧，邏輯學，尤其是形式化的現代邏輯學，幾乎都或隱或顯地采用了結構主義的研究方法。也就是說，形式化的現代邏輯學主要是描述各自論域中的各種研究對象的結構性特征及其相互關系，而不必考慮具體對象的內在的品質，不同的邏輯對象可以由其相應結構的性質或結構之間的基本關系來表示。
比如：模態邏輯充分考慮了含有“可能”和“必然”的模態語句的這一命題結構，引入了“可能”和(或)“必然”模態詞，對傳統的一階邏輯進行擴展而得到的。因為預設的公理和推理規則不同，而得到的模態系統也不同，對這些模態系統的框架進行解釋就可以得到不同的模型。認知邏輯則是模態邏輯的改版，即：把模態邏輯中的必然算子，解釋成相信算子或知道算子等而得到的。雖然各個邏輯系統千差萬別，但是，各個系統所給出的句法和語義，以及隨之而定義的框架與模型和在此基礎上對可靠性和完全性、可判定以及復雜性的探討等等，都或隱或顯地彰顯了結構主義的特征。
由于很多數學都研究抽象的結構，因此，數學結構主義在數學哲學中占據著主導的地位。根據數學結構主義的觀點，數學理論描述各自論域中的結構的性質，而不必考慮所討論對象的內在品質[13]。狄德金主張把數學結構作為以集合、運算和關系的系統的基礎，并認為同構概念與結構的類型緊密相關[3]10。為了準確清晰地表述“結構”或“結構映射”的概念，數學只有利用集合論，或者只有利用作為結合論的一個分支的模型論，才能夠準確表征結構、結構映射等概念。因此，集合論就成為結構主義重建數學的語言基礎，成為結構主義表述各種數學對象及其相互關系的基本語言。作為現代邏輯學的重要分支之一的廣義量詞理論，集合論語言是其基本語言，因此，廣義量詞理論也采用了結構主義的研究方法。下面，筆者將以廣義量詞理論為例，來考察結構主義在現代邏輯學中的具體體現。
三結構主義在現代邏輯學中的具體實例
廣義量詞理論是揭示廣義量詞的普遍語義性質和推理特征的自然語言邏輯理論。集合論視域下的廣義量詞是通過對自然語言中的名詞短語或其限定詞進行語義解釋后而得到的。即：廣義量詞對應于所有名詞短語或其限定詞的指稱。一階邏輯的全稱量詞和存在量詞也是廣義量詞。可見，廣義量詞理論是在一階邏輯和集合論的基礎上發展起來的，它對廣義量詞的真值定義是建立在標準模型論的基礎之上，廣義量詞的量化論域是由個體組成的集合，真值的模型論概念則是利用非邏輯符號的解釋和量化論域來加以表述的[14]40-41。廣義量詞理論以集合論語言作為其基本語言，而集合論語言是結構主義表述各種數學對象及其相互關系的基本語言，因此，廣義量詞理論在諸多方面都體現了數學結構主義的思想。
(一)廣義量詞的同構閉包性彰顯了結構主義的思想
1957年，莫斯托維斯基(Mostowski)為〈1〉類型廣義量詞附加了這樣條件：不允許我們對論域中的元素加以區分。1966年，林登斯托姆(Lindstr?m)把這一條件推廣到更為普遍的情況，而且這一條件得到了邏輯學家的公認。這一條件被稱為同構閉包(isomorphismclosure)，即：在邏輯中，只有結構才是重要的，個體對象、集合本身并不重要。這一思想與數學哲學中的結構主義思想不謀而合。用邏輯的術語來表述同構閉包的思想就是：如果一個邏輯語言中的語句在一個模型中為真，那么該語句在所有的同構模型中為真。即：邏輯是主題中立的[14]95。如果邏輯是獨立于主題事物，那么邏輯常元將在論域間的任意雙射下都是不變的，或者更弱一點地說，邏輯常元在論域的任意置換下是不變的[14]324-325。比如：假設把“學生”一一映射成“狗狗”，把“面包”一一映射成“骨頭”，把“在吃”一一映射成“在啃”，那么，如果“每個學生最少吃三塊面包”在一個模型中為真，那么“每個狗狗最少啃三塊骨頭”肯定在其同構模型中也為真。這說明，“每個”和“最少三(塊)”具有同構閉包性。可見，邏輯學對所有對象都同等對待，邏輯性質不但在嚴格變換下是不變的，而且在所有雙射下也是不變的[14]325。
同構閉包不僅僅局限于量詞。比如，命題聯結詞也不關注主題事物：合取詞可以統一運用于兩個語句或兩個集合或兩個別的對象，而不考慮這兩個對象的具體內容，僅僅考慮這兩個對象的結構。這說明，同構閉包表達的思想與結構主義的思想也是相通的。對于自然語言量化而言，同構閉包具有重要的意義。莫斯托維斯、林登斯托姆、塔斯基和范本特姆都認為，滿足同構閉包性是滿足邏輯性的必要條件[14]327-328。值得我們注意的是，邏輯學家和計算機科學家，在實踐中提出的所有形式語言都具有這樣的性質：真在同構下得以保持，在系統中使用的所有算子以及由這些算子定義的別的所有算子，都滿足同構閉包性[14]328。
(二)廣義量詞的真值定義體現了結構主義的思想
從語法的視角看，一個廣義量詞是一個變元約束算子，此算子把每個定義域與其任意子集間的一個二元關系聯系起來。從語義的視角看，一個廣義量詞是一個映射，此映射通過表征廣義量詞的論元集合的性質或論元集合之間的關系，來揭示廣義量詞的語義性質[15]。例如：每個亞氏量詞(即：all、some、no、notall這四個特殊的廣義量詞)實際上表示的是個體的集合之間的一個特殊的二元關系。比如：在“所有學生都去操場了”中，令論域中所有學生組成的集合用S表示，論域中所有去操場的個體組成的集合用P表示，這一語句就可以表示為all(S，P)這一三分結構，其真值定義all(S，P)?S?P的意思是，集合S是包含在集合P中，即：論域中，所有學生組成的集合包含在所有去操場的個體組成的集合中。
從以上的分析可以看出，廣義量詞理論很好地詮釋了數學結構主義的內涵。比如：all(S，P)這一三分結構還可以表示“所有的人都是要死的”、“所有的狗狗都要睡覺”、“所有的大米都吃完了”等等，這里的“學生”“人”、“狗狗”“大米”等對象所組成的集合S，以及這些對象分別與“去操場了”、“要死的”、“要睡覺”和“吃完了”等對象所組成的集合P，這些具體對象本身并不重要，重要的是這些語句都可以用all(S，P)這一三分結構來加以統攝。其真值條件就是，當S?P(即S包含于P時)時，all(S，P)就為真。
(三)廣義量詞理論對單調性的處理也展示了結構主義的思想
廣義量詞的單調性是廣義量詞最為重要的語義性質。例如：至少三分之二的學生認真完成了作業。?至少三分之二的學生完成了作業。令S表示論域中所有學生組成的集合，P表示論域中認真完成作業的個體組成的集合，P′表示論域中完成作業的個體組成的集合。“至少三分之二的學生認真完成了作業”可表示成atleast2/3(S，P)這樣的三分結構，“至少三分之二的學生完成了作業”可表示成atleast2/3(S，P)這樣的三分結構。這一單調性推理可形式化為atleast2/3(S，P)?atleast2/3(S，P′)，由于P?P′，由P到P′，集合在增大，因此，這一推理體現了“至少三分之二的”這一廣義量詞的右單調遞增的性質。而P?P′可以理解為，所有的P都是P′，這可表示成all(P，P′)。具體地說，就是：所有認真完成了作業的個體都是完成了作業的個體。這一單調性推理其實是省略了all(P，P′)這一前提的廣義三段論推理，其形式化結構為：atleast2/3(S，P)∧all(P，P′)?atleast2/3(S，P′)。事實上，所有關于廣義量詞的單調性推理，都是省略了一個暗含前提的廣義三段論推理。
可見，廣義量詞理論對單調性的處理所使用的基本語言也是集合論語言，這一語言也是結構主義的基本語言，因而體現了結構主義的思想。1984年范本特姆提出的利用數字三角形方法，來表征具有駐留性、擴展性和同構閉包性的〈1〉類型和〈1，1〉類型廣義量詞的單調性，其背后也暗含了濃烈的結構主義思想。限于篇幅，不再詳細論述。
(四)基于廣義量詞理論的廣義三段論推理蘊涵了結構主義的思想
正如一階邏輯的全稱量詞和存在量詞是廣義量詞的特例一樣，亞氏三段論也是廣義三段論的特例。自亞里士多德開始的很長時期內，對亞氏三段論的有效性的研究，幾乎都是采用的是非形式化的方法。自從有了廣義量詞理論后，對包括亞氏三段論在內的廣義三段論的研究，就可以用形式化的方法來對其進行表示和有效性的證明[1]155-202。而且利用廣義量詞理論，不僅可以對24個有效的亞氏三段論進行形式化，而且還可以對其進行公理化[16]。這種形式化的邏輯研究方法不僅拓展了邏輯研究的范圍、提升了邏輯學的研究能力，更重要的是有利于計算機科學中的知識表示、知識推理和自然語言信息處理。
廣義量詞理論完成以上這些任務主要還是利用了集合論語言，彰顯了結構主義的思想。具體地說，就是充分利用了“含有〈1，1〉類型的廣義量詞Q的量化語句具有Q(S，P)這樣的三分結構”這一知識。〈1，1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的左論元所組成的集合與其右論元所組成的集合之間的二元關系。〈1〉類型的廣義量詞揭示的是所涉及的論元所組成的集合的性質。由于自然語言中的廣義量詞絕大多數都是〈1〉類型和〈1，1〉類型的廣義量詞，而且對〈1〉類型的廣義量詞的研究可以轉化為對其〈1，1〉類型的親緣廣義量詞的研究[1]46。因此，利用這一結構主義思想，就可以對自然語言中絕大部分廣義三段論進行形式化和有效性的證明。簡言之，這一結構主義的研究方法具有很強普適性。
例如：“所有渴望暴富的人都是浮躁之人。大多數人都是渴望暴富的人。所以，大多數人都是浮躁之人。”其中的“大多數的”對應的是〈1，1〉類型的廣義量詞。令論域中所有人組成的集合用S表示，論域中浮躁之人組成的集合用P表示，論域中渴望暴富的人組成的集合用M表示。利用結構主義的形式化表示方法，這一廣義三段論，可以形式化為：all(M，P)∧most(S，M)?most(S，P)。利用廣義量詞的真值定義就可證明這一廣義三段論的有效性。證明：假設all(M，P)與most(S，M)這兩個條件均成立。根據all和most的真值定義可知：all(M，P)?M?P，且most(S，M)?|S∩M|≥|0.55|S|，因此，|S∩P|≥0.55|S|。再根據most的真值定義“most(S，P)?|S∩P|≥0.55|S|”可知：most(S，P)成立。證畢。對亞氏三段論和其他廣義三段論的形式化及其有效性的證明均可以類似處理。可見，利用結構主義的形式化研究方法，可以簡潔明了地對包括亞氏三段論在內的廣義三段論進行形式化及其有效性的證明。
筆者多年的研究表明：這一結構主義研究方法普適性非常強。因為不論是自然語言中無處不在的廣義量詞的單調性推理，還是亞氏三段論推理，抑或是廣義三段論推理，以及建基于這三種推理之上的語篇推理，都可以使用這種結構主義的研究方法來進行形式化及其有效性的證明。
四結論
