高中數學知識點歸納大全精選(九篇)

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第1篇：高中數學知識點歸納大全范文

從教師的發展，特別是青年教師的發展角度看，“同課異構”有利于提高教師的教學水平，促進教師特別是新教師不斷的成長?！巴n異構”實現了教師間的“集體備課”，促成教師間對同一知識不同認知的統一。眾所周知，新教師成長最快的途徑之一就是要充分利用備課組各位教師的已有資源，特別是與名師的共同備課、聽課、評課，同行的幾點建議甚至是一個提醒，都會對新教師以極大的共振，使自己的教學水平盡快提高。作為教師，在教學中我們力求教師個人與其備課組、教研組之間進行廣泛的合作，營造同課異構中教師互助的合作；在教師合作中將自己的才智與備課組及其教研組成員的智慧緊密地結合起來，從而使個人的成長與整個備課組，教研組的進步相輔相成，從而促進教師的發展。通過“同構異構”可以發現哪種教學活動更有效，更能促進學生的學習。

成都七中林蔭校區青年教師比例已增加到20%左右，而高新校區青年教師比例為60%，從整體來看，青年教師的政治思想素質和業務素質還不能適應七中教育事業更高層次發展的需要。培養一支又紅又專的骨干教師隊伍是一項緊迫而又帶戰略性的任務。所以學校高度注視本次由成都市教科院在成都七中舉辦的成都市數學科“同構異課”活動。在本次活動中，參加本次“同構異課”的老師有四位，我們將他們的教學思路，教師評課，做了一個梳理，與大家一起共享。

（附：劉在廷 學士 中學高級 成都七中 610041 ； 張世永 碩士 中學高級 奧林匹克高級教練 成都七中 610041）

《等差數列前n項和》（第一課時）教學設計

四川省成都七中 陽 虎

摘 要：通過對等差數列前n項和公式的推導過程，滲透倒序相加求和的數學方法，通過運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力，使學生感受數學的實用性，有效激發學習興趣，

關鍵詞：等差數列 倒序相加 類比化歸 數形結合

一、教材分析

對“等差數列前n 項和”的推導，其學習平臺是學生已掌握的等差數列性質以及首尾配對法等相關知識。本節的討論，為以后學習數列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加法，具有承上啟下的重要作用。

二、教學目標

（一）知識與能力：①掌握等差數列前n項和公式。 ②掌握等差數列前n項和公式的推導過程。③會簡單運用等差數列的前n項和公式。

（二）過程與方法：①通過對等差數列前n項和公式的推導過程，滲透倒序相加求和的數學方法。②通過公式的運用體會方程的思想。③通過運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力。

（三）情感、態度、價值觀：結合具體模型，將教材知識和實際生活聯系起來，使學生感受數學的實用性，有效激發學習興趣，并通過對等差數列求和歷史的了解，滲透數學史和數學文化。

三、教學重難點：教學重點：等差數列前n項和公式的推導和應用

教學難點：等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。

四、教學流程

教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖

課題引入 首先讓學生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+…..+100=？ 觀察 通過現實生活問題引入“首尾配對法”

新

知

探

究

新

知

探

究

Q1： 請用首尾配對的方法計算第1層到第79層一共用了多少顆寶石？

那么我們是否可以在“首尾配對”的基礎上，找一種方法來優化“首尾配對”，從而避免討論項數的奇偶。

引導學生回憶初中在學習梯形面積及三角形面積時，采用的那種倒置方法。

Q2： 1+2+3+…+ n =？

等差數列中，可以用和表示，那么是否也可以用和表示呢？

學生用“首尾配對”進行求和，發現“首尾配對”要考慮項數的奇偶

三角形倒過來以后很容易就求出了寶石的個數

嘗試將這個式子倒過來，然后再兩式相加

學生嘗試用“倒序相加法”探究前n項和公式

學生將通項公式帶入前n項和公式，即得到前n項和的第二個公式

回憶初中梯形面積公式，以便更好記憶兩個求和公式。 目的在于引導學生發現在應用“首尾配對法”時，需要分項數的奇偶討論

問題一的解決，可以給學生滲透“倒置”的方法，為后面“倒序相加法”做好準備

問題二的解決讓我們認識到一種新的方法“倒序相加法”，為推導前n項和公式作好方法準備

有了前面的“倒序相加法”和等差數列通項的“下標和”性質，則很快得出前n項和的第一個公式：

引導學生通過兩種方法來推導前n項和的第二個公式：

類比梯形面積的公式，主要是方便同學對于前n項和兩個公式的記憶

應

用

舉

例

應

用

舉

例

請兩位同學上黑板演算，老師點評

引導學生從方程的角度考慮問題，得到知三求二；另外從函數角度考慮，前n項和公式是一個關于n的“二次函數” 前兩問的選取目的在于讓同學們再次熟悉公式，第三問的選取目的在于為后面從方程角度分析公式作鋪墊

方程的角度和函數的角度分析公式

讓學生再次熟悉公式，并能夠合理的選取公式

小結

由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明 讓學生再次回憶“倒序相加法”、前n項和的兩個計算公式以及由方程思想得到的“知三求二”

（指導教師 杜利超）

（附：陽虎 學士 中學一級 成都七中 610041 ； 杜利超 學士 中學高級 成都七中 610041）

《等差數列前n項和》（第一課時）教學設計

四川省成都七中 吳 雪

摘 要：通過對等差數列前n項和公式的推導過程，滲透倒序相加求和的數學方法；通過運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力，培養學生解決數學能力的興趣和信心，從中也使學生體會到數學內在的和諧對稱美。

關鍵詞：等差數列 倒序相加 類比化歸 數形結合

教學目標：A.知識目標：①掌握等差數列前n項和公式。②掌握等差數列前n項和公式的推導過程。③會簡單運用等差數列的前n項和公式。B.能力目標：①通過對等差數列前n項和公式的推導過程，滲透倒序相加求和的數學方法。②通過公式的運用體會方程的思想。③通過運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力。C.情感目標：在學生主動參與和探討前n項和的推導過程中，培養學生解決數學能力的興趣和信心，從中也使學生體會到數學內在的和諧對稱美。

教學重點：等差數列前n項和公式的推導和應用。教學難點：等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。

教學過程：

教學過程 學生活動 教學設計意圖

一、溫故知新

1.等差數列的通項公式

2.等差數列的性質（角標和定理）

二、新課引入

印度泰姬陵是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢華程度，可見一斑.

問題是：“1+2+3+4……+100=？”

思考高斯是如何快速計算1+2+3+4+…..+100？

高斯算法的優點：分組求和，將加法運算轉化為乘法運算

觀察1，2，3，….100 1，2，3，….99 都是等差數列

那一般的等差數列如何求和呢？

三、新課講解

1.公式推導

設等差數列的首項為，公差為d

思路一

問題一：一定有嗎？（角標和定理）

問題二：有多少個，一定都能完全配對嗎？（分類討論n的奇偶性）

1.當n為偶數時：

2.當n為奇數時：

問題三： 可否與合并呢？

=

通過對n取值的討論，得到了前n項和求和公式，是否有其他的方法回避討論，一步到位呢？

思路二

我們知道，第m項和倒數第m項總是存在的

這n個兩兩組合中，將第一個加數排成一列

將第二個加數排成一列

然后對應兩項兩兩相加：有n個；且兩數列的的前n項和相等，都記為；則有

同理（介紹教材方法）

兩式相加：

1.幾何解釋

2.分析公式

將代入 知三求二

3.公式運用

例1.求和

（1）101+100+99+98+…+64；

（2）1+3+5+7+…+（2n-1）（結果用n表示）

解：設題中的等差數列是，前n項和是

（2）解：設題中的等差數列是，前n項和是

變式練習：求等差數列2m+1，2m+3，……2n-1的和

解：設已知數列，前n項和，公差為d

求得d=2，項數，代入求和公式得：

四、課堂小結

1.推導等差數列前 n項和公式的思路；

2.公式的應用體現出的數學思想.

五、作業 教材46頁 A組 學生： 思考，回顧，鞏固舊知識

學生：觀察思考

你知道圖案中有多少顆寶石嗎學生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50X（1+101）=5050

用高斯算法計算

1+2+3+……+99=？

學生：將首末兩項配對，第二項與倒數第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于。

學生：不一定，需要對n取值的奇偶進行討論。

當n為偶數時剛好配對成功。

當n為奇數時，中間的一項落單了。

學生：觀察角標的關系

學生：將排兩次，第二次反過來排

學生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯系。用“割”的思想將梯形分做一個平行四邊形和一個三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。

學生討論：公式中一共含有五個量，根據三個公式之間的聯系，由方程的思想，知三可求二。

項數怎么計算？

用通項公式推導

學生：選定公式，可分別用兩個公式求解。

學生：已知數列是

1+3+5+7+…+（2n-1）

去掉前m項后的結果，所以直接由有

高斯分組求和

倒序相加法

數形結合

特殊到一般

引入課題

高斯求和眾所周知，學生能快速解答。

學生思考是否可復制高斯方法

這里用到了等差數列腳標和性質

從高斯算法出發，對n進行討論尋找求和公式思路自然，學生容易想到。

對中間項的解決辦法的過程中，進一步讓學生體會研究數列就是對腳標數學的研究。

倒序相加求和法是重要的數學思想，為以后數列求和的學習做好了鋪墊。

利用數形結合的思想，使學生對兩個公式有直觀的認識，體會數學的圖形語言

熟悉公式，難點在于求項數，要重點講解。

變式練習學生可通過換元的思想來解決

（指導教師 張世永）

（附：吳雪 學士 中學一級 成都七中 610041 ； 張世永 碩士 中學高級 奧林匹克高級教練 成都七中 610041）

《等比數列的前項和》教學設計

四川省成都七中 尹祖奎

摘 要：通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力。

關鍵詞：等比數列 錯位相減法 分類討論

教材分析：

等比數列的前項和是進一步學習數列知識的重要基礎和解決一類求和問題的有力工具，在現實生活中有著廣泛的應用。

教學目標：1.知識與技能：理解并掌握等比數列前項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題。2.過程與方法：通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力。3.情感、態度、價值觀：通過分類討論等讓學生體會數學的嚴謹美。

教學重點：等比數列前項和公式的推導和簡單應用。教學難點：等比數列前項和公式的推導過程中的錯位相減法及分類討論思想。

教學過程：

情境引入

1.教師活動：漫畫演示：豬八戒成立高老莊集團，因資金周轉不靈向孫悟空求助。悟空答應第一天投資30萬元，以后每天多投資1萬元，連續一個月（30天）。條件是，八戒第一天返還1分錢，第二天返還2分錢，…，即后一天返還數為前一天的2倍。30天后，兩人互不相欠。

提問：八戒是否應該接受悟空的投資？分析八戒得到的投資：分析八戒償還的債務：。

2.學生活動：在看、聽的同時做思考，回答是否接受投資，回想等差數列相關知識，類比等差數列的求和問題。

3.設計意圖：用學生熟悉的人物編擬故事，以趣引思，激發學生的探索興趣，復習等差數列前項和求法，引出課題：等比數列的前項和。

新課講授

（一）教師活動： 1.探究①倒序相加法是否適用？②等式兩邊同乘公比2會怎樣？（1） （2）（1）-（2），整理得。

（二）一般等比數列的前項和

問題：公式有沒有其它求法？

（二）學生活動：回想倒序相加法思考、體會錯位相減法，自主探究一般等比數列的前項和的公式，自主思考公式的其它求法，討論交流， 根據遞推公式得出公式的第二種形式。

（三）設計意圖：探究特殊等比數列的求和問題，指出“倒序相加法”不再適用，引出“錯位相減法”。從特殊到一般，從模仿到創新，有利于學生的知識遷移和能力提高。通過學生個別學習，互相討論，揭示知識的內在聯系。通過生生、師生間的探討、合作，培養學生的洞察力，增強學生思維的嚴謹性。訓練學生的思維能力、滲透方程思想。 學習公式的第二種形式。

公式剖析

1.教師活動：通過判斷是非認識公式特點：① （ ）② （）③若且，則 （ ）公式淺析：①五個量知三求二；②公比含參數時要分類討論。

2.學生活動：對照公式判斷正誤。

3.設計意圖：剖析公式中的基本量及結構特征，識記公式， 提煉公式特征。

課堂練習

1.教師活動：例1：教材P56例題1變式：去掉（2）中的條件。例2：已知是等比數列，請完成下表：

題號

（1） 27 8

（1） -2 -96 -63

例3：求和：。

2.學生活動：自主閱讀思考，整理解題思路，動手完成練習，討論交流，動手練習。

3.設計意圖：公式簡單應用，加深記憶強調分類討論，熟練公式運用，融入“知三求二”思想， 強調公比含參數時要分類討論，通過公比不能為0滲透嚴謹的數學思想。

課堂小結

1.教師活動：中心內容：等比數列的前項和公式的推導及應用。思想方法：求和方法：錯位相減法數學思想：方程思想、分類討論思想等。

學生活動：學生總結（教師補充）。

設計意圖：讓學生再次回憶錯位相減法、等比數列前項和公式，培養學生歸納總結能力。

作業布置

（一）教師活動：1.書面作業：課本61-62頁 A組 1、2、3、5題 B組 3題 選作：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？ 吳敬 《九章算法比類大全》。

2.研究性作業：查閱“芝諾悖論”（阿基琉斯跑不過烏龜），用等比數列求和的觀點加以解釋。

（二）設計意圖：分層布置作業，尊重個體差異、滲透數學史，培養學生自主探究問題的能力。

（指導教師 張守和）

（附：尹祖奎 學士 中學一級 成都七中 610041 ； 張守和 學士 中學高級 成都七中 610041）

《等比數列的前項和》教學設計

四川省成都七中 巢中俊

摘 要：通過等比數列的前項和公式的推導，體會錯位相減法的數學思想；通過公式的運用，提高學生處理方程問題的能力和分類討論的能力，并，從中體會到探究數學的一般思想方法。

關鍵詞：等比數列 錯位相減法 分類討論 探究

教學目標：1.知識目標：①掌握等比數列的前項和公式，會運用公式解決簡單問題。②掌握錯位相減法推導公式。2.能力目標：①通過等比數列的前項和公式的推導，體會錯位相減法的數學思想。②通過公式的運用，提高學生方程能力和分類討論能力。③情感目標：探究特殊等比數列的求和，從中發現方法，推廣應用到一般等比數列的求和，從中體會到探究數學的一般思想方法。

教學重點：等比數列的前項和公式及錯位相減法。教學難點：錯位相減法及討論公比和。教材分析：本節內容是用錯位相減法推導公式和簡單運用。在學生已經學習過等差數列的前項和之后，再次探究特殊數列的求和問題，錯位相減法是今后求一些非等差等比特殊數列前項和的重要方法，具有承上啟下的重要作用。

教學過程：

【求和背景】教師活動：引例1 國際象棋盤上放麥粒問題。引例2 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。引例歸結出兩個等比數列的求和問題。。從而拋出課題。提出問題： 等比數列的前項和有沒有公式？例1 已知等比數列，通項公式為，猜想等比數列的前項和。引導學生發現可以利用錯位相減法求。一步一步地詳細演示錯位相減法的過程，順勢提出錯位相減法怎么推導一般等比數列的前項和公式？

學生活動：學生觀察兩個引例的演示圖。學生發現理解體會錯位相減法的思想方法。

設計意圖：通過兩個學生感興趣的引例，吸引學生到課堂，引出課題。為一般地等比數列的前項和公式的探索推導鋪路搭橋。

【推導公式】教師活動：引導學生利用錯位相減法探索推導一般地等比數列的前項和錯位相減法推導公式，當時，數列為常數列， ，當時，，，強調和的分類討論，的分段形式。思考：乘可以，那么除以可不可以？，從已學正弦定理引導，學生自主完成《幾何原本》證法. ，舉例指出證法的缺陷：證法要求， 。

學生活動：有例1的基礎，引導學生乘用錯位相減法推導公式。學生自主探究，教師輔助。

設計意圖：充分體現師生共同探究問題，充分體現學生在學習中的主體地位，教師的引導和輔助作用。

【公式理解】教師活動：兩個小練習熟悉公式： ① ②公比等不等于要分類討論③注意公式中的次數④知三求二。

學生活動：在教師的引導下理解和內化公式。

設計意圖：對學生的薄弱環節作出說明，幫助學生正確理解公式。

【公式 運用】教師活動：例2 是等比數列，若，求數列前項的和，點評： （注意），還有方法：.（簡化計算），例3 等比數列的前項和為，若，，公比，求項數點評：補充，例4 求數列的前項和點評：分類不全的錯因分析，加強印象。

學生活動：例2學生先做，教師點評。例3 學生先動手做，學生分析。例4 學生先動手做，學生展示。

設計意圖：公式的靈活運用，保證學生充分動手.充分暴露錯誤，分類不全面。

【小結提升】教師活動：①等比數列的前項和公式，②兩種方法推導公式

錯位相減法，《幾何原本》法③知三求二（例2，例3）④公比，分類討論（例4）。

學生活動：由學生自主歸納本節所學主要內容，教師補充完善小結。

設計意圖：發揮學生的自我歸納能力。

（指導教師 曹楊可）

（附：巢中俊 碩士 中學一級 成都七中 610041 ； 曹楊可 學士 中學高級 學科帶頭人 成都七中 610041）

四川省成都七中數學同課異構的評課

四川省成都七中 劉在廷

摘 要：新課程強調教師在教學活動中要及時更新教育觀念，并不斷探索新的教育方式，而“同課異構”不失為較好的一種教學方式。對青年教師的教學設計和課程講授進行分析和點評。有利于青年教師不斷地成長。

關鍵詞：新課程 同課異構 反思 點評 青年教師成才

陽虎老師教學過程自然。課堂通過引例泰姬陵的寶石，共有100層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+…..+100=？： 以應用問題做引入，體現新課程理念，培養學生自覺應用數學知識的意識，引起學生的興趣。這個過程不僅激發了學生一題多解、觸類旁通的熱情，培養學生的創造思維能力，而且還很自然地引出了本堂課的重難點——倒序相加法求和，然后進行公式的推導。課堂按公式推導—公式應用—公式的深層次應用進行設計，思路清晰，語言流暢，知識點的講解層層深入，重點突出。同時本堂課變換問題情景，巧用公式。根據學生的實際情況講解倒序相加的方法。注重細節，注重學生的參與，無知識點的硬傷，講解時，突出了化歸的思想。

吳雪老師課堂引入較好，設計思路清晰。學生的發散思維較好，體現了學生實際情況及新課改的精神。新課通過“自主、合作、探究”的教學方式，從多種渠道進行教學。先從簡單的問題入手：引出10歲小高斯用首尾相加相等的特點巧算的故事，加數個數由偶數變為奇數，巧妙變式，讓學生自己發現個數不成對出現只要稍加處理，便可殊途同歸。語言傳承轉接較好，所提的問題具有操作性。學生參與活動的時間（師生互動，合作學習，自學）有30分鐘，真正做到了是以學生為主體。教師的個人講解沒超過20分鐘，也滿足了一堂好課硬性標準。

尹祖奎老師課堂引入教為新穎，以西游記后傳為背景，給人耳目一新的感覺，快速抓住學生心理。營造良好的教學情境，調動學生的“情商”，激發學生的興趣、求知欲等非智力因素來增強教學效果。創設教學情境，讓學生“觸境生情”，既可以掌握數學知識和技能，又可以體驗教學內容中的情感，使原本枯燥的、抽象的數學知識變得生動形象，饒有趣味。講解清楚，效果較好。推導公式時，通過主動示錯達到目標。教學中強調細節，過程流暢，例題中講解知三求二的方法時，以表格的形式呈現，讓學生更容易理解。