問題驅(qū)動數(shù)學教學原則探思

前言：想要寫出一篇引人入勝的文章？我們特意為您整理了問題驅(qū)動數(shù)學教學原則探思范文，希望能給你帶來靈感和參考，敬請閱讀。

摘要：問題是促動學科發(fā)展的原始動力，數(shù)學也不例外．問題驅(qū)動數(shù)學教學研究依據(jù)課程標準“要創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題”的要求，進行相應的理論思考和實踐探索．問題驅(qū)動數(shù)學教學的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予問題有效的情境，教師引領(lǐng)學生在問題情境空間中探究生成數(shù)學知識，習得數(shù)學思想方法并學會思考．基于問題驅(qū)動理論與數(shù)學學科的特點剖析問題驅(qū)動數(shù)學教學的基本原則和基本思想，構(gòu)建針對具體課時的問題驅(qū)動教學實施步驟，為教學的設(shè)計與組織提供參考．

關(guān)鍵詞：問題驅(qū)動；問題情境；數(shù)學教學；數(shù)學思想

1問題驅(qū)動與數(shù)學教學

由于數(shù)學的特點和教材編寫的需要，數(shù)學教科書基本上是以概念的描述、定理的證明、法則的論證等構(gòu)成形式化的邏輯演繹體系，而知識產(chǎn)生的原始問題與豐富背景都幾乎消失殆盡．這使學習者在一堆符號化的邏輯推理中很難體會到所蘊含的數(shù)學美及其重要價值．但“數(shù)學并不是按照教科書中的方式發(fā)展的”[1]．問題是促進學科發(fā)展的原始動力，數(shù)學也不例外．M.Kline就曾指出：“每一個數(shù)學分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的．”[2–3]因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學教學也應圍繞問題展開．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》[4]強調(diào)“教學活動應該把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題……教學情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境”，并指出“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)”．教師需通過問題與情境引導學生經(jīng)歷知識的生成過程，揭示數(shù)學的本質(zhì)并學會思考．要求設(shè)計合適的教學情境和數(shù)學問題為學生提供具有挑戰(zhàn)性的實踐創(chuàng)新平臺，問題驅(qū)動數(shù)學教學研究也正是基于課程標準的要求進行相應的理論和實踐探討．問題驅(qū)動教學的實質(zhì)就是指要創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予有效的情境，教師引領(lǐng)學生圍繞問題情境探究發(fā)現(xiàn)，在解決問題的過程中體驗數(shù)學的“再發(fā)現(xiàn)”過程，習得具體的知識獲得相應的數(shù)學思想方法[5]．以問題驅(qū)動教學，能再現(xiàn)數(shù)學豐富多樣的“火熱”思考過程，揭示數(shù)學本質(zhì)并教學生學會思考；以問題驅(qū)動教學，有助于學生在問題情境中從事探索活動，在經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程中生成“形式化”的數(shù)學概念與原理并習得數(shù)學思想方法．數(shù)學教育家張奠宙先生曾提出“以問題驅(qū)動的新概念數(shù)學”[6]，李大潛院士也大力提倡“問題驅(qū)動的應用數(shù)學研究”[7]，還有許多文獻從不同的角度探討了問題驅(qū)動下的數(shù)學教學[8–11]．2018和2019年出版的著作《問題驅(qū)動的中學數(shù)學課堂教學》[5，12–13]的理論與實踐卷、概率與統(tǒng)計卷、復數(shù)與三角卷系統(tǒng)地探討了問題驅(qū)動教學理論及其在中學數(shù)學課堂上的應用．

2問題驅(qū)動數(shù)學教學的基本原則

問題驅(qū)動數(shù)學教學遵循“由問題到理論”，是對荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”思想的具體化．弗賴登塔爾認為任何數(shù)學都是“數(shù)學化”的結(jié)果，學數(shù)學就是學“數(shù)學化”的過程[14]．從現(xiàn)實情境發(fā)現(xiàn)問題并抽象出數(shù)學模型或數(shù)學問題的符號化過程稱為“橫向數(shù)學化”．從不同角度和層次分析、表征與解決數(shù)學模型或問題的形式化過程稱為“縱向數(shù)學化”．但弗賴登塔爾的數(shù)學教育觀主要從學生認知層面強調(diào)教學組織過程，根據(jù)學生的“數(shù)學現(xiàn)實”將一系列的教學材料通過“再創(chuàng)造”將之“數(shù)學化”地組織起來，即“如何教”．問題驅(qū)動教學除了關(guān)注“如何教”，也重視“教什么”與“為什么教”．它從教育哲學層面深入到數(shù)學內(nèi)部去剖析知識的背景與價值，進而創(chuàng)設(shè)能反映本質(zhì)，符合學生實際的問題與情境驅(qū)動教學，使學生經(jīng)歷完整的“數(shù)學化”過程．數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展在解決現(xiàn)實問題、科學問題和內(nèi)部矛盾的過程中逐步完善．所以，數(shù)學概念或原理的形成可以是源于現(xiàn)實生活、自然與工程等科學或者是數(shù)學本身的問題．只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學本質(zhì)、能夠在教學中起統(tǒng)帥作用的”[6]問題都是好問題、真問題．真問題又常劃分為“本原性問題”和“派生性問題”兩類[9]：前者指促使事物產(chǎn)生的最初根源，后者是指某個數(shù)學理論產(chǎn)生之后根據(jù)自身邏輯發(fā)展產(chǎn)生的問題．問題有助于數(shù)學本質(zhì)的揭示，但“問題不等于問題情境”[15]，只有當學生面對問題有解決它的心向和欲望——即具備有意義學習的條件時，問題才能構(gòu)成問題情境，才能真正做到以問題驅(qū)動教學．從數(shù)學的發(fā)展史看，有效的問題情境材料應“具有一定的生活意義、數(shù)學價值或科學價值”[9]．要創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}及其情境，需追溯數(shù)學史回答以下3個問題：這個內(nèi)容當初是怎么產(chǎn)生與發(fā)展的？人們?yōu)槭裁匆パ芯克克惺裁磧r值？通過歷史挖掘承載在具體數(shù)學知識之上的問題背景、思想方法以及數(shù)學家的研究精神．由此可見，基于問題驅(qū)動的教學設(shè)計與教學實施至少需遵循以下3個原則．

2.1問題驅(qū)動原則

正如哈爾莫斯所言，問題是數(shù)學的心臟．問題也是數(shù)學課堂的核心，教學應依據(jù)歷史與學生實際對教材重組“再創(chuàng)造”，提出合適的真實問題，創(chuàng)設(shè)有效的教學情境驅(qū)動概念與原理的教學．教師為學生提供探索活動的適當問題空間，引導他們在“做數(shù)學”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學并習得相應的數(shù)學思想、學會思考，進而運用所學解決具體問題、鞏固新知、體驗“用數(shù)學”的過程．圍繞恰當問題情境展開教學，有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力．

2.2密切聯(lián)系現(xiàn)實原則

這里的“現(xiàn)實”有兩層含義：一是指學生的數(shù)學基礎(chǔ)與實際生活經(jīng)驗，二是數(shù)學產(chǎn)生的背景．問題驅(qū)動教學的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實的問題并賦予有效的情境，教師進行教學的設(shè)計與組織時必須考慮學習主體——學生的現(xiàn)實，使提出的問題在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使依據(jù)數(shù)學產(chǎn)生背景所創(chuàng)設(shè)的教學情境是學生所能理解的現(xiàn)實情境、科學情境或數(shù)學情境．數(shù)學在解決各種各樣的問題中形成相應的概念和原理，教學應該創(chuàng)設(shè)適當?shù)膯栴}及其情境反映這個過程并讓學生體會到數(shù)學的廣泛應用性、深刻性、嚴謹性與趣味性．學生在問題情境中經(jīng)歷從現(xiàn)實世界向數(shù)學世界和符號世界過渡的完整“數(shù)學化”過程，在獲得基本知識與技能、基本思想與活動經(jīng)驗的同時學會“用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界”[4]，促使數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

2.3知識生成原則

學生已有的知識儲備和相應的知識結(jié)構(gòu)是學習新知識的重要支架．新知應在舊知的基礎(chǔ)上引發(fā)，學生在經(jīng)歷知識的發(fā)生過程中建立起知識間的實質(zhì)和意義聯(lián)系，進而形成良好的整體認知結(jié)構(gòu)，促進學生對知識的理解并實現(xiàn)學習的遷移．這也要求教師深入到數(shù)學內(nèi)部剖析教材內(nèi)容，確定教學的困難或存在的問題，明確單元的整體知識結(jié)構(gòu)以及各知識點在單元內(nèi)部、單元之間、數(shù)學學科內(nèi)部和外部之間的聯(lián)系，理清知識脈絡與所體現(xiàn)的主要數(shù)學思想，以尋找教學的合適生長點．

3問題驅(qū)動數(shù)學教學的基本思想

有效實施問題驅(qū)動數(shù)學教學的前提是教師能依據(jù)歷史和學生實際重構(gòu)教材，整體把握教學內(nèi)容，確定核心問題，設(shè)置恰當?shù)默F(xiàn)實問題情境，在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學生經(jīng)歷“數(shù)學化”的完整過程．數(shù)學具有“原始形態(tài)”“學術(shù)形態(tài)”“教育形態(tài)”3種存在形式[16]．教師應具備將知識在數(shù)學史中的“原始形態(tài)”和教科書中的“學術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為再現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展過程的“教育形態(tài)”的能力．如果說，研究數(shù)學史和教科書是為了揭示數(shù)學知識的本質(zhì)與教學價值，以厘清“教什么”與“為什么教”．那么將數(shù)學的“原始形態(tài)”和“學術(shù)形態(tài)”有效轉(zhuǎn)化為便于學生接受的“教育形態(tài)”，就是為了解決“如何教”的問題．因此，問題驅(qū)動數(shù)學教學的組織與實施需把握以下4個基本思想．

3.1基于對教學單元的整體把握

深入理解具體課時內(nèi)容課時內(nèi)容是單元的一個部分，單元則是數(shù)學學科結(jié)構(gòu)中最小的整體．要掌握局部的課時內(nèi)容，就需理解其在單元中的地位與作用．進一步地，還需了解單元與數(shù)學學科整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，甚至是與其它學科的聯(lián)系．這樣才能設(shè)置恰當?shù)膯栴}與情境更好地組織具體課時的教學．要整體把握數(shù)學單元，就是要依據(jù)課程與單元專題的總體目標、教材的體系、數(shù)學史和學生的實際去深入剖析教學內(nèi)容的價值與地位．換句話說，把握數(shù)學知識的整體結(jié)構(gòu)是為了服務局部的課時內(nèi)容，為了更好地揭示知識背后的思想及相互間的聯(lián)系．而充滿各種聯(lián)系的局部內(nèi)容構(gòu)成了具有生命力的整體認知結(jié)構(gòu)．

3.2基于歷史與學生現(xiàn)實“再創(chuàng)造”教材內(nèi)容呈現(xiàn)知識的教育形態(tài)

數(shù)學專著的內(nèi)容基本以學術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)一堆數(shù)學化的形式結(jié)果，看不到知識的起源與發(fā)展，感受不到數(shù)學家曲折而豐富的思考過程．教科書雖然不同于數(shù)學專著，但為了便于組織也基本按照“定義→定理或公式法則的證明→應用”的順序組織教材．數(shù)學史則是以原始形態(tài)表現(xiàn)數(shù)學，反映知識的發(fā)生發(fā)展和思想方法的形成過程，但也包含了各種細節(jié)以及數(shù)學家所走過的彎路．弗賴登塔爾強調(diào)數(shù)學教學要經(jīng)歷歷史上的重要步驟卻并非要重復歷史，而是要依據(jù)歷史結(jié)合學生的數(shù)學現(xiàn)實將數(shù)學的學術(shù)形態(tài)和原始形態(tài)轉(zhuǎn)化為適合學生學習的教育形態(tài)．所以，教師需整體把握數(shù)學學科知識，運用數(shù)學史知識和學生實際重構(gòu)教材，圍繞問題在課堂教學組織中有的放矢地再現(xiàn)數(shù)學家“火熱的思考”過程，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)．

3.3基于問題驅(qū)動教學揭示概念與原理的本質(zhì)

數(shù)學概念特別是基礎(chǔ)的核心概念是數(shù)學這座大廈的基石，相應的理論和定理構(gòu)成了大廈的框架，各個定理、命題之間的相互關(guān)系及其蘊含的思想方法則充實了框架結(jié)構(gòu)，形成了有血有肉的整體．以問題驅(qū)動教學是生成概念和獲得原理的最佳途徑，學生在合適的問題空間中進行探索活動并體驗數(shù)學思想方法的形成過程．雖然在實際的數(shù)學課堂教學中，不可能每節(jié)課都圍繞著一個核心問題展開教學．但對于在數(shù)學知識體系中起著基礎(chǔ)作用的重要概念和定理，最適合也最需要以問題驅(qū)動的方式展開教學來揭示數(shù)學的本質(zhì)．通過問題驅(qū)動教學，讓學生深刻體驗數(shù)學概念與原理背后所隱藏的思想方法，體驗到數(shù)學的價值、作用與魅力．一般而言，對于新課——如概念、定理、性質(zhì)或公式的講授，應盡可能地選擇恰當問題設(shè)置真實有效的情境展開教學，讓學生有機會親歷數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)過程．而在圍繞一節(jié)課的核心問題驅(qū)動教學的過程中，為了幫助學生更好地開展探究活動，教師仍需要給合學生的實際設(shè)置一系列有啟發(fā)性的、有前后邏輯關(guān)系的問題鏈．如果把核心問題比作“大問題”，那么問題鏈就是為了大問題的解決而設(shè)置的一個個小臺階，讓不同學習能力的學生都有機會到達目標——解決大問題并揭示數(shù)學本質(zhì)．為鞏固新知，讓學生深刻理解概念的內(nèi)涵與外延、原理的適用范圍與限制條件等，同樣也要設(shè)置一系列反映概念本質(zhì)屬性、原理實質(zhì)的變式問題進行習題課的教學．可見，問題總是教學的中心，但“問題鏈”與本原性問題、派生性問題在教學中的意義及作用不盡相同．

3.4基于“數(shù)學化”的方法組織教學內(nèi)容構(gòu)建相互聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)

將數(shù)學內(nèi)容問題化，將問題情境化，并以問題驅(qū)動教學是為了更好地實現(xiàn)“數(shù)學化”．讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”過程的實質(zhì)也是要求教師用“數(shù)學化”的方法組織教學內(nèi)容的過程．弗賴登塔爾指出要教充滿聯(lián)系的數(shù)學，才有利于學生理解、記憶與運用知識，才能形成數(shù)學的整體結(jié)構(gòu)．學生經(jīng)歷橫向數(shù)學化的過程將數(shù)學與外部現(xiàn)實聯(lián)系起來，經(jīng)歷縱向數(shù)學化的過程則是在數(shù)學的內(nèi)部建立起彼此間豐富的聯(lián)系．通過“數(shù)學化”，幫助學生將一個個概念、原理、公式、法則有機組織在一起形成完善的知識體系獲得對數(shù)學本質(zhì)的理解，實現(xiàn)知識在數(shù)學學科內(nèi)部及其與其它學科之間的密切聯(lián)系．

4問題驅(qū)動數(shù)學教學的基本步驟

數(shù)學研究的起點可以是數(shù)學問題也可以是科學問題或現(xiàn)實問題，在解決問題的過程中抽象出數(shù)學的概念與原理，進而運用結(jié)論解決其它的數(shù)學問題、科學問題或現(xiàn)實問題．數(shù)學研究的過程也反映了數(shù)學教育的基本過程，如圖1[5]，從“數(shù)學到數(shù)學”與從“現(xiàn)實到數(shù)學”是數(shù)學教育的兩條基本主線．“數(shù)學化”的出發(fā)點指研究的起點是數(shù)學問題，“生活化”的出發(fā)點指研究的起點為科學問題或現(xiàn)實問題．不管是從數(shù)學本身出發(fā)還是從現(xiàn)實開始，研究所獲得的結(jié)論既可用以解決數(shù)學問題也可處理實際問題．圖1數(shù)學教育的基本過程數(shù)學教學是對數(shù)學的“再創(chuàng)造”，是要引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)過程．如果數(shù)學來源于生活問題或科學問題，教學情境就盡可能與學生生活實際密切聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學的生活價值或科學價值．強調(diào)數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系也是“淡化形式，注重實質(zhì)”[1718]的教學體現(xiàn)．如果知識產(chǎn)生于數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展需要，問題就應融于適當?shù)臄?shù)學情境，反映知識的數(shù)學價值．這或許與徐利治先生所說的“數(shù)學教育不必強調(diào)應用，可以完全從數(shù)學的角度進行數(shù)學教育”[19]有一定的相通之處．圖1給出了數(shù)學教育的基本路線與框架．對于具體課時的中學數(shù)學教學，為便于教師的把握與操作，可根據(jù)數(shù)學教育的基本過程，構(gòu)建出更具操作性的問題驅(qū)動課時教學的基本步驟，如圖2．課時教學組織過程經(jīng)歷Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個步驟．教學的起點可以是蘊含數(shù)學問題的科學情境、現(xiàn)實情境，也可以就是反映知識本質(zhì)的數(shù)學情境，不管是哪種起點形式都要經(jīng)歷“數(shù)學化”的教學組織過程．而且教學的終點都指向應用，用獲得的數(shù)學概念或原理解決數(shù)學問題或者實際問題．問題驅(qū)動數(shù)學教學讓學生經(jīng)歷從感性認識上升到理性認識的學習過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程，經(jīng)歷數(shù)學知識與思想方法的形成過程．學生在數(shù)學活動中激發(fā)了探究精神，增強了數(shù)學建模能力和思辨能力，提升了問題意識和應用意識，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng)．

5問題驅(qū)動數(shù)學教學的幾種形式

根據(jù)問題驅(qū)動數(shù)學課時教學的基本步驟，由于不同的問題情境，教學過程的展開也略有不同．

5.1若促使數(shù)學知識產(chǎn)生的背景是來自現(xiàn)實或科學的本原性問題

此時教學過程基本按照圖2經(jīng)歷從Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個步驟，讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境或科學情境抽象出數(shù)學模型或問題到解決問題獲得新知，再到應用新知的過程，學生同時經(jīng)歷了“橫向數(shù)學化”與“縱向數(shù)學化”．比如“平面向量”單元“向量”概念的教學．向量本身就有極強的物理背景，自然可以通過分析學生所熟悉的既有大小又有方向的力（如重力、浮力、彈力等）后歸納抽象出向量的概念，從物理世界過渡到數(shù)學的符號世界，經(jīng)歷橫向數(shù)學化．然后再深入探討向量的幾何表示方法、相等向量與共線向量的定義，在數(shù)學內(nèi)部盡可能建立與向量的聯(lián)系，實現(xiàn)縱向數(shù)學化．再在解決問題中鞏固和運用向量的概念．

5.2若促使數(shù)學知識的形成源于數(shù)學自身邏輯的本原性問題

這時教學則需從Ⅰ→Ⅲ→Ⅳ讓學生從實際的數(shù)學問題情境經(jīng)歷“縱向數(shù)學化”獲得新知，再應用新知解決實際問題的過程．比如復數(shù)概念的教學．復數(shù)概念的產(chǎn)生并非為了處理類似012x的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，由此引入復數(shù)不僅不符合歷史事實，也會給學生的理解帶來更多的困惑[20]．從古希臘丟番圖時期一直到16世紀前半葉，數(shù)學家們對類似方程012x的解的問題也都是置之不理，那為什么非要引進新數(shù)讓它有解呢？事實上，復數(shù)是在解一元三次方程時遇到了現(xiàn)實的數(shù)學內(nèi)部矛盾而產(chǎn)生的．1545年，卡丹在他的《重要的藝術(shù)》里發(fā)表了形如03qpxx的三次方程解法和其中一個根的表達式，即于是人們不得不考慮負數(shù)平方根的性質(zhì)及其與實數(shù)的聯(lián)系，由此引入新數(shù)——虛數(shù)單位i和復數(shù)的概念．教學完全可以結(jié)合這樣的數(shù)學背景創(chuàng)設(shè)情境激起學生的認知沖突自然進入“縱向數(shù)學化”，然后從不同的角度理解和用不同的方式表征新知識，進而形成完善的概念并應用概念．

5.3若數(shù)學知識的形成是源于數(shù)學內(nèi)部形式邏輯推導的派生性問題

這種情況教學需從Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ讓學生在具體的數(shù)學問題中經(jīng)歷推導和歸納過程，通過豐富的“縱向數(shù)學化”或直觀形象的解釋獲得新知，再鞏固應用新知．比如，平方差公式22))((bababa，它是多項式乘以多項式衍生出來的一個特殊結(jié)論．教學自然可以從一類滿足公式的多項式乘以多項式的例題入手進行“縱向數(shù)學化”，在復習舊知的過程中讓學生觀察結(jié)構(gòu)、歸納規(guī)律．由特殊例子到結(jié)論一般化使學生經(jīng)歷形式的代數(shù)證明和直觀的幾何解釋（如圖3），有助于學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S和直觀的形象思維的養(yǎng)成．例題與習題的處理由淺入深重點剖析公式的結(jié)構(gòu)與字母a、b代表的意義．通過多視角、多維度的“縱向數(shù)學化”讓學生對平方差公式形成整體的認知結(jié)構(gòu)．

作者:王海青 曹廣福 單位:惠州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 廣州大學數(shù)學與信息科學學院