高中數(shù)學(xué)的基本不等式精選(九篇)
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第1篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
一、銜接初中不等式知識
高中不等式的教學(xué)要設(shè)置初高中數(shù)學(xué)課程的銜接，針對初中課程未涉及，課堂沒有學(xué)到但高中要運用的內(nèi)容進行補充和講解，比如，一元二次不等式的解法教學(xué)。在高中數(shù)學(xué)課程安排上不局限于必修與選修的安排，有必要把解一元二次的不等式的教學(xué)從高中數(shù)學(xué)的必修五整合到必修一的教學(xué)后面，分離學(xué)習(xí)基本不等式和解不等式，讓學(xué)生提早地接觸不等式的教學(xué)，這樣既避免了必修一中復(fù)雜的、技巧性很強的不等式有關(guān)證明，還能夠保證學(xué)生后面學(xué)習(xí)函數(shù)模塊如何處理不等式的定義域、值域等問題。
下面的案例是放在高一函數(shù)不等式解法的教學(xué)中，主要服務(wù)于高中函數(shù)教學(xué)中用到的解不等式內(nèi)容。例如，在進行一元二次不等式解法的講解中，教師首先要結(jié)合坐標(biāo)軸和函數(shù)形式，給出一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)之間的關(guān)系，隨后，給出一元二次不等式的解答步驟，先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等式符號的方向，寫出不等式的解集。以解不等式-3x2+6x>2為例，首先，通過觀察-3x2+6x>2不等式的形式，發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，故將其變形為二次項系數(shù)大于零的情形：3x2-6x+20，3>0，由此解得兩根是x1=3-33，x2=3+33，所以解得原不等式的解集是{x|3-33
二、注重課堂教學(xué)氛圍
筆者在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)校由于教學(xué)時間緊張，明知不等式的教學(xué)內(nèi)容非常重要，卻壓縮教學(xué)課時，把不等式的教學(xué)內(nèi)容簡略地安插在函數(shù)教學(xué)中，簡單講解函數(shù)中遇到的不等式問題，使得教學(xué)效果大打折扣。從高中數(shù)學(xué)教師的視角來看現(xiàn)行不等式教學(xué)，首先，我們會發(fā)現(xiàn)不等式的課程內(nèi)容比較單一，脫離實際生活，案例缺乏創(chuàng)新，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣下降，失去學(xué)習(xí)動力。其次，在學(xué)習(xí)過程中缺乏自主性學(xué)習(xí)，學(xué)生被動學(xué)習(xí)且方法停留在死記硬背層面，并沒有真正地做到全面考查和培養(yǎng)學(xué)生的目的。最后，通過多家學(xué)校不等式授課評比，我們會發(fā)現(xiàn)，平時的不等式課程內(nèi)容繁雜且偏，學(xué)生不易理解，教師一般在教學(xué)過程中結(jié)合高考?xì)v年考題進行總結(jié)講解，注重提分點的講解，一旦高考不等式出題方式稍有改變，學(xué)生很難做出應(yīng)答。例如，解不等式x2+（a2+a）x+a3>0，對于這種含參數(shù)的不等式，學(xué)生一般可以將其等價化成不等式（x+a）（x+a2）>0。由于該不等式含有參數(shù)a，與平時的一般不等式有所區(qū)別，所以要進行分類討論。為了發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，開拓解題思維，將學(xué)生分組，進行討論解答。當(dāng)-a>-a2時，當(dāng)a=0時，當(dāng)0
三、觀察推理論證過程
思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心。因此，高中數(shù)學(xué)滲透的數(shù)學(xué)思想和養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維方式能夠為以后的數(shù)學(xué)研究和邏輯思維問題提供很好的思路和捷徑，教師在傳授高中數(shù)學(xué)知識的同時更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想的滲透。把不等式中數(shù)學(xué)思想作為載體，對問題進行仔細(xì)觀察、比較、分析和抽象概括，學(xué)會巧妙運用類比、歸納和演繹這些方法進行推理，能夠運用準(zhǔn)確的專業(yè)數(shù)學(xué)用語進行表述。在實際教學(xué)中，由于大多數(shù)的數(shù)學(xué)教師只注重課程內(nèi)容的講述，并未做到數(shù)學(xué)思想的深入講解，使得學(xué)生缺乏培養(yǎng)解決問題的思路，追求死記硬背，很難在數(shù)學(xué)方面得到提高。因此，在不等式的教學(xué)中，教師要順應(yīng)新課程改革的潮流，結(jié)合新課程改革的基本理念，在教學(xué)中要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，同時，在不等式的教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)，開展探究性學(xué)習(xí)，提高創(chuàng)新意識，尤其要重視不等式與各個學(xué)科的聯(lián)系，加強不等式的應(yīng)用。結(jié)合不等式的教學(xué)目標(biāo)，巧用活用各種數(shù)學(xué)思想，通過觀察推理論證過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，將難度問題盡量突破。例如，解答關(guān)于x的不等式：x2+（m-m2）x-m3>0，因楦錳饉研究的整體對象不適合用同一方法進行處理，這就需要化整為零，把參數(shù)m分為m>0或m
第2篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 常態(tài)復(fù)習(xí)課 有效性策略
高中數(shù)學(xué)在高考成績中占據(jù)很大的分量，由于數(shù)學(xué)內(nèi)容大多具有抽象性和系統(tǒng)性，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)。高中常態(tài)復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率對于高中生數(shù)學(xué)知識的積累和數(shù)學(xué)能力的提高有著至關(guān)重要的作用?；诖耍疚闹饕U述如何提高高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性，讓師生共同努力，為學(xué)生的高考鋪平道路。
一、把握復(fù)習(xí)重難點
1.把握復(fù)習(xí)重點
高中生應(yīng)該根據(jù)教材和考試大綱確立自己的復(fù)習(xí)方向和目標(biāo)，理解高中數(shù)學(xué)的重點知識，掌握?？键c和易錯點。根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗，高考數(shù)學(xué)主要有如下主干內(nèi)容：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；三角與向量；數(shù)列推理；解析幾何；立體幾何；不等式；概率、統(tǒng)計與算法等。從這幾年高考題的難易程度來看，三角函數(shù)、立體幾何、概率問題及數(shù)列推理問題都屬于重點且題目比較容易，是考生需要下工夫的主要內(nèi)容。尤其是三角函數(shù)和數(shù)列推理兩個問題由于公式繁多，變形比較容易，因此這兩個部分屬于重點注意部分。筆者在講課時，以三角函數(shù)的“兩角和與差”公式為基礎(chǔ)延伸出不同類型題目的處理方法。而對于數(shù)列推理問題，筆者更是研究出一種以公式變形為突破口的思想方法。
2.突破復(fù)習(xí)難點
根據(jù)高考題目的難易程度而言，解析幾何、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為難點。解析幾何以直線與圓、橢圓、拋物線、雙曲線的結(jié)合問題最棘手，也最讓學(xué)生頭痛。函數(shù)導(dǎo)數(shù)中涉及的函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用是難點內(nèi)容，數(shù)列的綜合應(yīng)用對學(xué)生的能力要求非常高，這些都應(yīng)該是復(fù)習(xí)課的難點。
例如2014年福建省高考數(shù)學(xué)理科19，直線與雙曲線的結(jié)合問題。
已知雙曲線E：■-■=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l■∶y=2x，l■=-2x.
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）動直線l分別交直線l■，l■于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由。
二、以高考試題為目標(biāo)
高三學(xué)生數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的一大目標(biāo)就是在高考中的良好發(fā)揮，所以平時以高考題作為標(biāo)準(zhǔn)無疑是最合適的。教師要以高考題難度及涉及面為研究對象，提高自主編寫的練習(xí)題的質(zhì)量，爭取趨近于高考題目的質(zhì)量。而學(xué)生需要在老師的指點下承擔(dān)更多的工作。具體說來包括以下三點。
1.總結(jié)高考題目
學(xué)生在大量研究歷年高考題目之后要學(xué)會對高考題目進行總結(jié)。很多教師都要求學(xué)生要自備錯題集，將錯題記錄并多看。這只是總結(jié)的一個方面，學(xué)生要在研究高考題目時摸透出題人的意圖，明確出題人的考核方法，更要明確各種題目中出題人所設(shè)的陷阱，將出題思路與學(xué)習(xí)重難點結(jié)合起來才能真正做好總結(jié)。
2.培養(yǎng)學(xué)習(xí)自主性
培養(yǎng)高中生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，增強高中生的自主學(xué)習(xí)能力，就目前來講，還無法脫離教師的全面指導(dǎo)，需要老師從內(nèi)因和外因兩個方面入手，給予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動力和信心，強化學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效果，從而增強學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)實現(xiàn)自我價值的成就感，在根本上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。同時，加強同學(xué)間的合作交流，尤其是面臨高考的高三學(xué)子，在高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時肯定是各有所長，所以讓學(xué)生自由結(jié)合取長補短也是一種極為重要的方法。這樣能使學(xué)生之間建立起互幫互助的關(guān)系，還能讓學(xué)生對自己的優(yōu)勢更深入地進行鉆研，這無疑是高三學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的一大方法。
三、全局性把握并串聯(lián)知識點
全局性把握講解知識點是教師面臨的巨大挑戰(zhàn)。在學(xué)生參與數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時，就不能僅僅把數(shù)學(xué)課當(dāng)成復(fù)習(xí)課，要讓學(xué)生體會到學(xué)到了新的東西而不是一直在復(fù)習(xí)學(xué)過的知識。這就要求老師將課程安排得科學(xué)合理，將知識點串聯(lián)起來，應(yīng)用于不同題目的講解中。
如函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要部分，在復(fù)習(xí)時可以函數(shù)為主線，串聯(lián)方程、不等式、數(shù)列、平面幾何、立體幾何、解析幾何等其他知識點，使之形成知識網(wǎng)絡(luò)，達到“以綱帶目，綱舉目張”的目的，加深學(xué)生對函數(shù)自身概念、性質(zhì)的理解，達到與其他知識的融會貫通，擴大知識面，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。復(fù)習(xí)中也可以精選的高考試題為主線，對高考試題進行有序梳理，通過類比、分析、歸納等途徑，鞏固學(xué)生的邏輯思維，提高學(xué)生的反思能力。如“基本不等式”的教學(xué)中，可以分別選擇：（1）若對任意x>0，■≤a恒成立，求a的取值范圍；（2）已知函數(shù)F（x）=|lgx|，若a
四、學(xué)會舉一反三
在具體的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)用中，首先學(xué)生應(yīng)積極歸納自己學(xué)過及發(fā)現(xiàn)的新規(guī)律，對其進行更深層次的理解和應(yīng)用，實現(xiàn)對其的有效整合。比如對函數(shù)y=logax的性質(zhì)的理解，學(xué)生可以經(jīng)過畫圖像對其加強記憶。此外，還要注意對數(shù)學(xué)知識的分類總結(jié)與歸納，如《立體幾何》中面與面、面與線及線與線之間的關(guān)系理解，可組織學(xué)生展開積極討論，并由教師指導(dǎo)將其討論的重點放在角與距離及平行與垂直的關(guān)系方面，逐步將其繪制成一種體系或網(wǎng)絡(luò)，以此為線索進行后續(xù)的相關(guān)學(xué)習(xí)，進而提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力；其次要學(xué)會歸納題型，新時期我們應(yīng)該摒棄大量做題從而掌握數(shù)學(xué)方法的思想，數(shù)學(xué)題太多，“題海戰(zhàn)術(shù)”既累又沒重點，遠(yuǎn)不如學(xué)生對類型題的歸納總結(jié)有效果，如對數(shù)列通項公式的求法，學(xué)生就沒有必要對這種類型的題不加選擇地大做特做，只需針對各種類型的題做一兩道，并及時總結(jié)方法和相關(guān)類型即可。在此基礎(chǔ)上形成對類型題“模式”的強化，然后進行舉一反三，加以靈活應(yīng)用，碰到相似類型題即可迎刃而解。不但提高了做題效率，更是促進了學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的提高，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效性的提高。
五、結(jié)語
數(shù)學(xué)是一門具有系統(tǒng)性和抽象性的應(yīng)用型基礎(chǔ)學(xué)科，是在學(xué)生學(xué)過的基礎(chǔ)上對其進行積極有效的復(fù)習(xí)，對于學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握等有著至關(guān)重要的作用。高中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)課是高三學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識融會貫通的必要路徑，也是學(xué)生從量變到質(zhì)變的飛躍。因此，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師必須積極采取措施，提高高中數(shù)學(xué)常態(tài)復(fù)習(xí)課的有效性。
參考文獻：
第3篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；探究式教學(xué)；變式教學(xué)
數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在思考問題時經(jīng)常受一些條條框框的束縛，思維廣度不夠，經(jīng)常陷入題海之中，得不到主動發(fā)展，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展，通過不斷的“變”，讓學(xué)生在不同的背景下探求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生思維的高度一步步的提升。
一、變式教學(xué)的要求
數(shù)學(xué)變式教學(xué)首先要有針對性，如在概念教學(xué)時候，可以針對概念進行變式。在習(xí)題課時針對章節(jié)內(nèi)容適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，對重要題型進行變式，達到歸類總結(jié)的作用。在復(fù)習(xí)課時進行橫向聯(lián)系，縱向比較的變式。其次，變式教學(xué)要具有適用性。要根據(jù)教材要求，以及學(xué)生的接受程度，對題目進行適當(dāng)?shù)淖兪?，變式要具有啟發(fā)性，要講究創(chuàng)新，這樣有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，在探究中完成變式教學(xué)。
二、變式教學(xué)要突出“概念的內(nèi)涵和外延”
數(shù)學(xué)概念是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的要素，數(shù)學(xué)概念具有發(fā)展性，只有正確的理解和掌握了數(shù)學(xué)概念，才能有效地解決數(shù)學(xué)問題。變式教學(xué)是促進學(xué)生迅速、準(zhǔn)確的掌握數(shù)學(xué)概念的重要途徑。對于有些數(shù)學(xué)概念，可能需要多層次的理解，這就需要教師設(shè)置多層次的變式，為學(xué)生分層理解設(shè)置好臺階。
案例1 “函數(shù)的單調(diào)性”的概念
基本概念 一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，區(qū)間I？哿A，若任意x1x2∈I，當(dāng)x1
變式1 若存在x1x2∈I，當(dāng)x1f（x2），則y=f（x）在區(qū)間I上不是單調(diào)增函數(shù)。
點評：非概念變式，有助于明確概念的外延。
變式2 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，若x1
點評：概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式，加深對概念本質(zhì)的認(rèn)識。
變式3 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，若f（x1）
點評：變式2是由自變量到函數(shù)值，學(xué)生對函數(shù)值到自變量會產(chǎn)生自然的思考。此變式可謂是“更上一層樓”，對學(xué)生的思維能力要求較高，更可以對概念的理解產(chǎn)生深刻的影響。
三、變式教學(xué)要突出教材的地位
在高中教學(xué)中，教材是具有權(quán)威性和示范性的。變式教學(xué)要以經(jīng)典習(xí)題為生長點，結(jié)合課本的習(xí)題，做到有源可溯，從而創(chuàng)造性的使用教材。特別是高三的復(fù)習(xí)課，應(yīng)該充分挖掘教材中習(xí)題價值，使高三復(fù)習(xí)事半功倍。
古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中給出過一個結(jié)論：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓。
數(shù)學(xué)語言：點A，B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，當(dāng)λ=1時，動點P的軌跡為直線；當(dāng)λ≠1時，動點P的軌跡為圓，并稱之為阿波羅尼斯圓。
這個結(jié)論在蘇教版的高中數(shù)學(xué)教材上并沒有提及，但是在習(xí)題中，涉及到這個圓的問題卻有很多，如果教師能夠及時給出這個結(jié)論，勢必會在教學(xué)起到良好的效果。
點評：案例2是“阿波羅尼斯圓”中最基本問題，考查了用解析法探求軌跡問題，體現(xiàn)了解析幾何的魅力。經(jīng)過化簡可以得到軌跡方程為（x+1）2+y2=4，其軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓。
改變案例2中的設(shè)問，可將試題設(shè)計成一道填空題。
變式4 （2013年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點A（0，3）直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上。
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使得MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。
點評：這道題目的第2問中M點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，得出M點的軌跡方程后，M點還在圓C上，這樣此問題就轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點的問題。
變式5 已知點A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D是直線AC上的動點，若AD≤2BD恒成立，求最小正整數(shù)t的值。
點評：將結(jié)論中的PA=λPB這個條件改為PA≥λPB（或PA≤λPB）且λ≠1，點P的軌跡又會變?yōu)閳A內(nèi)或圓外的部分，和直線結(jié)合，又會考查直線與圓的位置關(guān)系。
對教材習(xí)題進行恰當(dāng)?shù)淖兓?，讓學(xué)生在“變”與“不變”中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；幫助學(xué)生在復(fù)雜的題目面前，能夠迅速的抽絲剝繭，探究本質(zhì)，尋找到恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>
四、變式教學(xué)要突出“思維的螺旋式發(fā)展”
變式教學(xué)的目的之一是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力，這就要求變式教學(xué)要由淺入深，具有一定的螺旋上升的空間。在高一高二教學(xué)變式中要重視基礎(chǔ)，不能所有問題全部拋出，走出“高一學(xué)生當(dāng)高三教”的誤區(qū)，這樣學(xué)生的能力就會得到不斷的提升。
基本不等式的應(yīng)用在江蘇高考中屬于C級要求，是高考重點考查內(nèi)容。在基本不等式的概念教學(xué)中，要強調(diào)基本不等式成立的三個條件：正、定、等。
點評：“等”這個條件是學(xué)生做題中最容易忽視的一個。此題等號取不到，需要再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來解決。
這三個變式，層層遞進，螺旋上升，其本質(zhì)就是對基本不等式的使用條件有完整的認(rèn)識。這三個變式還考查了學(xué)生類比推理的能力，有利于學(xué)生思維能力的進一步提升。
五、變式教學(xué)要突出“生本課堂”
新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“生本課堂”的理念，要求課堂教學(xué)要以學(xué)生的發(fā)展為本。要實現(xiàn)這一目標(biāo)，在課堂教學(xué)時就必須要貼近學(xué)生，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手。變式教學(xué)即是如此。
點評：這道題如果利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式代入，就會得到a1，d與A，B，進而得出A，B之間的關(guān)系。從這個角度講，這道考查的也是定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。但大部分同學(xué)是采取的賦值法，對取特殊值來解決，這種方法也非常好，可惜很多同學(xué)繞在方程組里，沒有找到最終的關(guān)系。
變式教學(xué)可以讓教師引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“不變”的本質(zhì)和規(guī)律，幫助學(xué)生將所學(xué)知識融會貫通，讓學(xué)生在變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的樂趣?？傊?，新課標(biāo)下，教師要不斷更新觀念，做到因材施教，不斷完善和創(chuàng)新變式教學(xué)，幫助學(xué)生探究思維的培養(yǎng)，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。
【參考文獻】
第4篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
關(guān)鍵詞： 發(fā)散思維 發(fā)散點 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)量關(guān)系
“數(shù)學(xué)是思維的體操”.發(fā)散思維是具有多個思維指向、多種思維角度并能發(fā)現(xiàn)多種解答或結(jié)果的思維方式.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)散思維表現(xiàn)為依據(jù)定義、定理、公式和已知條件，思維朝著各種可能的方向擴散前進，不局限于既定模式，從不同的角度尋找解決問題的各種可能途徑.
傳統(tǒng)的教學(xué)模式注重傳授知識，忽略了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).單調(diào)、陳舊的教學(xué)方法局限了學(xué)生的思維能力，導(dǎo)致學(xué)生思考問題片面，解決問題手法單一，產(chǎn)生思維的惰性和封閉性，缺乏創(chuàng)新意識.教師應(yīng)努力把課堂變成訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)其思維能力的場所.
恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué).”數(shù)學(xué)的對象主要是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式.數(shù)量關(guān)系貫穿于數(shù)學(xué)問題始終.要學(xué)好數(shù)學(xué)必須掌握數(shù)學(xué)中大量的數(shù)量關(guān)系，因此可以以數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.
一、以函數(shù)數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力
人們運用函數(shù)來描述客觀世界中普遍存在的某一數(shù)量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)的是變量間嚴(yán)格的確定性的數(shù)量關(guān)系，我們可以函數(shù)數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.
例：已知a，b≥0且a+b=1，求a■+b■的最值.
分析：對于二元或多元函數(shù)的最值問題，我們常通過換元法化二元或多元為一元函數(shù)解決.本題我們把a■+b■轉(zhuǎn)化為一元二次式，以二次函數(shù)數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點探求a■+b■的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)易知二次函數(shù)的最值.
解法一和解法二，都是以函數(shù)數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點求最值，只是選用的函數(shù)數(shù)量關(guān)系不同而已，教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思考、運用函數(shù)數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，合理聯(lián)想，有效培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.
二、以隱含在優(yōu)美對稱中的數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力
完成解法二后，我們再次回歸題目，很多同學(xué)直覺感受到了題目的對稱美.對稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征，充分發(fā)掘題目的對稱美，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含在優(yōu)美對稱中的數(shù)量關(guān)系，以此為發(fā)散點得到解法三.
從隱含在優(yōu)美對稱中的數(shù)量關(guān)系入手，將換元結(jié)果進行了簡化，從而得到一種簡潔優(yōu)美的解法.在教學(xué)中，更要注意引導(dǎo)學(xué)生利用對稱美解決問題，進行數(shù)學(xué)創(chuàng)新，增強學(xué)生的發(fā)散思維能力.
三、以不等式的數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力
由條件a、b≥0且a+b=1，有同學(xué)聯(lián)想到基本不等式，含有兩個變量的最值問題，有時候可以用基本不等式解決，于是嘗試從不等式的數(shù)量關(guān)系入手，解決本題.
以上解題過程中，挖掘題目中隱含的多種數(shù)量關(guān)系，以數(shù)量關(guān)系為發(fā)散點，從不同角度探究多種途徑解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.
參考文獻：
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第5篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
1必修模塊的教學(xué)順序問題
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對必修個模塊的教學(xué)順序沒有作明確規(guī)定，必修個模塊的教學(xué)順序問題是高中數(shù)學(xué)教材試驗必須研究確定的在教材實驗中也出現(xiàn)了一些突出的問題，如某些地區(qū)連續(xù)三年按照不同的模塊順序（1234，1243，1423）進行教學(xué)對模塊順序，老師們發(fā)表了許多意見
江蘇省常州市教育局教研室孫福明指出：按照常規(guī)理解，教材必修1-應(yīng)該是有順序的，而且這種順序應(yīng)該體現(xiàn)編者的整體意圖和編者對高中數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識，但《課程標(biāo)準(zhǔn)》制訂組提出以數(shù)學(xué)1為基礎(chǔ)，其余4個模塊在不影響相關(guān)聯(lián)系和知識準(zhǔn)備的條件下，學(xué)校可以根據(jù)學(xué)生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求縱觀各地的教學(xué)順序，幾乎都回歸到老教材原有的以學(xué)科體系為主的順序，例如有些地方教學(xué)順序是必修1423，有些地方是必修1423等在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當(dāng)，給教學(xué)帶來了不便，如三角知識安排在必修4及必修講授，但必修2立體幾何及平面解析幾何中都要用到三角知識；解三角形后移導(dǎo)致必修2中的立體幾何中對一般三角形的計算不能進行同時高一物理學(xué)科也必須用三角知識
為了解決必修個模塊的教學(xué)順序問題，許多老師作了深入的研究下面先考察個必修模塊的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系
《數(shù)學(xué)1》包括集合、函數(shù)概念、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及函數(shù)的應(yīng)用集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)備了集合語言和思考問題的觀點，為從集合、對應(yīng)語言描述函數(shù)概念提供了準(zhǔn)備（函數(shù)作為兩個數(shù)集之間的映射）；函數(shù)概念是基本而重要的概念，是學(xué)習(xí)某些具體函數(shù)的基礎(chǔ)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是三類應(yīng)用廣泛的基本初等函數(shù)
《數(shù)學(xué)2》包括立體幾何初步、解析幾何初步立體幾何初步部分，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，要首先利用實物模型、計算機軟件觀察大量的空間圖形，認(rèn)識基本幾何體及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能畫出空間圖形的三視圖、直觀圖，了解一些常見幾何體的表面積和體積的計算公式，學(xué)習(xí)點、線、面之間的位置關(guān)系解析幾何初步部分，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，內(nèi)容包括直線與方程、圓與方程以及空間直角坐標(biāo)系的初步知識這些內(nèi)容涉及直線、平面之間的垂直、平行，直線的傾斜角和斜率等有關(guān)圖形相互關(guān)系的討論，此前就必須準(zhǔn)備有關(guān)角和三角函數(shù)的知識，立體幾何中有一些空間圖形計算問題會涉及三角函數(shù)和解三角形的知識
《數(shù)學(xué)3》包括算法初步、統(tǒng)計和概率的部分內(nèi)容相對而言，老師們對算法、統(tǒng)計、概率的內(nèi)容較為生疏，算法內(nèi)容對于計算機知識也有一定的要求
《數(shù)學(xué)4》包括任意角的三角函數(shù)概念、平面向量、三角恒等變形其中三角部分內(nèi)容包括三角函數(shù)概念、三角誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，三角函數(shù)圖象，以及三角恒等變換等，為涉及角的問題準(zhǔn)備了工具，應(yīng)該安排在有關(guān)涉及角的知識教學(xué)之前；此模塊另一章內(nèi)容是平面向量，涉及向量之間夾角的討論，應(yīng)該安排在所需要的角的知識之后
《數(shù)學(xué)》包括解三角形、數(shù)列、不等式的初步知識解三角形知識需要有《數(shù)學(xué)4》中三角函數(shù)作基礎(chǔ)，數(shù)列內(nèi)容主要包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的內(nèi)容，對于預(yù)備知識要求不高，但應(yīng)該從函數(shù)的觀點去認(rèn)識，不等式部分含有線性規(guī)劃內(nèi)容，需要有《數(shù)學(xué)2》中直線方程的知識作準(zhǔn)備
我們看到，在以上的教學(xué)內(nèi)容中，集合屬于最基礎(chǔ)的概念；函數(shù)建立在集合概念基礎(chǔ)上，實際上是兩個數(shù)集之間的特殊對應(yīng)關(guān)系；三角函數(shù)是一類特殊函數(shù)，涉及的圖形極其單純，就是任意角；向量就概念本身而言，也是非常簡單，但需要討論向量之間的關(guān)系，如兩個向量的和、差、數(shù)量積等，就要涉及向量之間的夾角，所以應(yīng)該安排在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的內(nèi)容之后；立體幾何與解析幾何的內(nèi)容都必須討論幾何圖形互相之間的位置關(guān)系，可以用三角函數(shù)和向量的工具；解三角形建立在兩個定理基礎(chǔ)上，必須在三角函數(shù)之后，并可應(yīng)用于立體幾何與解析幾何的一些問題中；線性規(guī)劃以直線方程的知識為前提，必須安排在解析幾何初步之后；其他的內(nèi)容（數(shù)列、不等式、算法、統(tǒng)計、概率）所需要的知識準(zhǔn)備不多，可以相對比較靈活地安排在不同的位置，當(dāng)然也會使能夠解決的問題范圍有所變化從上可知，個必修模塊之間有圖1所示的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系：
圖1
根據(jù)以上分析，如果按照必修模塊1234的順序進行教學(xué)，《數(shù)學(xué)2》教學(xué)涉及斜率、討論垂直、平行相互關(guān)系，需要三角函數(shù)的知識，就應(yīng)該在需要的知識準(zhǔn)備不夠時加以補充；另外，《數(shù)學(xué)3》的難點內(nèi)容相對靠前了，而且把《數(shù)學(xué)1》、《數(shù)學(xué)4》和《數(shù)學(xué)》中一些聯(lián)系比較密切的內(nèi)容分隔開了普遍認(rèn)為，這不算是一種很理想的教學(xué)安排，隨著試驗的延續(xù)，許多試驗區(qū)不再采用此教學(xué)順序
必修個模塊的教學(xué)，比較好的順序是1423按照1423的模塊順序，在教完《數(shù)學(xué)1》后緊接著教學(xué)《數(shù)學(xué)4》、《數(shù)學(xué)》，從教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性看，可使函數(shù)相關(guān)的基礎(chǔ)知識內(nèi)容相對比較集中；《數(shù)學(xué)4》提前，可以為后續(xù)內(nèi)容（如《數(shù)學(xué)2》立體幾何初步，解析幾何初步，《數(shù)學(xué)》的解三角形）需要應(yīng)用三角函數(shù)作好準(zhǔn)備《數(shù)學(xué)》的另外兩章內(nèi)容（“數(shù)列”和“不等式”）教學(xué)要求不高，學(xué)習(xí)難度也不大，安排在比較靠前的位置，有利于學(xué)生聯(lián)系函數(shù)知識，從函數(shù)的觀點來認(rèn)識數(shù)列和不等式不等式是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，在其他數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用《數(shù)學(xué)》中解三角形的知識是解決《數(shù)學(xué)2》中立體幾何的某些問題的必備知識，也為學(xué)習(xí)物理等創(chuàng)造條件但《數(shù)學(xué)》不等式中的線性規(guī)劃部分應(yīng)該安排在《數(shù)學(xué)2》直線方程內(nèi)容之后教學(xué)；《數(shù)學(xué)2》后移，適當(dāng)縮短與后續(xù)課程中有關(guān)聯(lián)的知識的時間；《數(shù)學(xué)3》算法的內(nèi)容一直沒有正式作為高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，許多老師對于算法內(nèi)容比較生疏統(tǒng)計和概率的內(nèi)容對于老師也相對比較生疏教學(xué)時間后移，有助于老師有較充裕的時間用于對其內(nèi)容的熟悉，也有利于學(xué)生對于知識的理解和掌握從試驗的情況看，大多數(shù)教師對這種順序是認(rèn)同的
從參照現(xiàn)行大綱高中數(shù)學(xué)教科書相關(guān)內(nèi)容的體系安排來看必修1423的教學(xué)順序安排，《全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本）·數(shù)學(xué)》（必修）的各章內(nèi)容依次是“集合與簡易邏輯，函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，不等式，直線和圓的方程，圓錐曲線方程，排列、組合與二項式定理，概率，直線平面簡單幾何體，”這與以上必修模塊按必修數(shù)學(xué)1423的順序比較接近，說明這是一種比較穩(wěn)妥的安排
當(dāng)然，按照1423的順序，《數(shù)學(xué)3》放在個模塊最后，產(chǎn)生的一個突出問題是對于《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的要把算法思想貫穿在整個課程中的設(shè)想不能很好地落實，應(yīng)該在后續(xù)的教學(xué)中設(shè)法加以彌補鑒于此，有意見認(rèn)為可以調(diào)整最后的2、3模塊順序，按照必修數(shù)學(xué)1432的順序進行教學(xué)，這也是一種值得考慮的方案當(dāng)然，也可以考慮把算法的基本內(nèi)容提前教學(xué)來解決此問題
2模塊化教材結(jié)構(gòu)問題
除了模塊順序的選擇問題以外，老師們還對改變高中課程的模塊化設(shè)置和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容安排體系提出了意見
江蘇省常州市教育局教研室孫福明指出：模塊教學(xué)難以使青年教師系統(tǒng)、整體、有一定高度地把握教材，客觀上影響青年教師培養(yǎng)模塊教學(xué)關(guān)注了一般學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，但對優(yōu)秀學(xué)生來說，淺嘗輒止則會影響他們思維品質(zhì)的提高，對這部分學(xué)有余力的學(xué)生來講，他們希望對知識有一個深刻的認(rèn)識和系統(tǒng)的理解，所以模塊教學(xué)對這部分學(xué)生來講是不利的建議課標(biāo)組能否適當(dāng)調(diào)整模塊之間的知識順序，兼顧到數(shù)學(xué)學(xué)科的體系特點和學(xué)生的認(rèn)知特點，使兩方面和諧起來，能使高一高二年級有一定的層次性
廣東省深圳外國語學(xué)校謝增生指出：高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學(xué)與知識體系問題：模塊教學(xué)要求小步走，螺旋式上升，使知識體系被打亂，一種知識分成幾個不同部分，分散于不同模塊，不成體系，導(dǎo)致跳躍式地講授知識，許多工具性的內(nèi)容后置或被刪除，如集合、函數(shù)中都用到的一元二次不等式的知識，要到《數(shù)學(xué)》才出現(xiàn)螺旋式上升與新課程倡導(dǎo)的積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式存在不和諧之處應(yīng)該調(diào)整順序，完善學(xué)科知識體系使教材內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律該校還針對新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)問題調(diào)整了內(nèi)容順序，提出了一個教學(xué)實施計劃方案，具有一定的參考價值
安徽省原巢湖市教育局教研室張永超也指出：不等式、三角函數(shù)等都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本工具，以前的大綱及其配套教材是將解一元二次不等式放在初中，或放在高一起始階段學(xué)習(xí)的，但是《課標(biāo)》卻將解一元二次不等式與簡單的線性規(guī)劃、均值不等式集中在一起，安排在《數(shù)學(xué)》中，這不便于函數(shù)、集合知識的教學(xué)在《數(shù)學(xué)2》中，解析幾何內(nèi)容只涉及到圓與方程，而雙曲線、橢圓與拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等內(nèi)容卻被安排在選修系列1、選修系列2中，因此只要求取得高中畢業(yè)學(xué)分而不參加高考的學(xué)生，則難以學(xué)到圓錐曲線的相關(guān)知識，對這些學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)十分不利《課標(biāo)》在《數(shù)學(xué)2》平面解析幾何初步中列出了有關(guān)空間直角坐標(biāo)系的內(nèi)容，不僅與章節(jié)名稱不符，而且這里的空間直角坐標(biāo)系與選修2-1中“空間中的向量與立體幾何”相關(guān)內(nèi)容相隔太遠(yuǎn)，也屬知識割裂的表現(xiàn)
由于一個模塊的課時限制，為了符合模塊的課時要求，就導(dǎo)致教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)的邏輯性大大降低，這與數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)教材系統(tǒng)性的突出特點不相符合，從而影響教與學(xué)可以設(shè)想，如果再進一步把模塊課時統(tǒng)一減少，就將對教材內(nèi)容的安排增加更多的困難，從而更加影響教材內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性
中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中如初等代數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識是高中學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，這些內(nèi)容應(yīng)該作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，按這些內(nèi)容的邏輯關(guān)系安排這些學(xué)科分支的教材內(nèi)容，并考慮教學(xué)內(nèi)容之間的互相聯(lián)系，必修內(nèi)容是否就不必再設(shè)置模塊，而是按照過去大綱教材一樣按學(xué)期確定教學(xué)內(nèi)容在確定了必修內(nèi)容以后的其他內(nèi)容，如微積分的初步知識及目前的一些選修模塊和專題的教學(xué)內(nèi)容，則可作為選修課程這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數(shù)學(xué)課程的必要的邏輯性和系統(tǒng)性，而教學(xué)內(nèi)容的學(xué)分可根據(jù)相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的分量等因素加以確定
3映射、函數(shù)、反函數(shù)的教學(xué)
函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)極其重要的概念，映射與函數(shù)的安排順序、反函數(shù)概念的教學(xué)要求問題是新高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究和討論較多的兩個問題
安徽省蕭縣教育局教研室吳仲奇指出：關(guān)于函數(shù)與映射概念的處理，新教材是先給出函數(shù)后再給出映射概念，即由特殊到一般在教學(xué)中，就這兩個概念作了對比試驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，先講函數(shù)定義的班級，普遍反映對定義中的“f”表示對應(yīng)關(guān)系理解不清，而先講映射后講函數(shù)的班級，對函數(shù)概念的理解要好得多因此，這兩個概念在邏輯上的順序和學(xué)生接受這兩個概念難易順序并不一致，另外，對函數(shù)概念新教材上給出的就是映射觀點下的定義，從這方面看，也應(yīng)是先講映射為宜
在教材實驗回訪、調(diào)研中老師也反映：高一數(shù)學(xué)有的知識點太簡單，如冪函數(shù)，應(yīng)用很廣，但僅講一頁半；反函數(shù)的內(nèi)容目前沒有講清；新課標(biāo)實驗教材對于反函數(shù)概念講得不夠完整，應(yīng)該完整講述反函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等，現(xiàn)在概念沒有講清，學(xué)生常對于概念提出許多問題，不好回答廣州市執(zhí)信中學(xué)劉仕森校長探訪了一些學(xué)生，特別是學(xué)習(xí)困難生，他們認(rèn)為越講不清，他們的負(fù)擔(dān)越重，他們希望學(xué)得更明白一些，不知其理，反而學(xué)得辛苦
為了考察映射、函數(shù)、反函數(shù)的內(nèi)容在相關(guān)知識體系中的作用，圖2給出與此有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容概念之間的結(jié)構(gòu)圖
從映射的觀點來認(rèn)識函數(shù)概念，是在初中用變量觀點認(rèn)識函數(shù)基礎(chǔ)上的深化，映射概念也是學(xué)習(xí)后續(xù)反函數(shù)概念的基礎(chǔ)從中學(xué)數(shù)學(xué)教材歷史看，改革開放以后中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重要成果是集合、映射觀點的引入和廣泛地滲透，先講映射后講函數(shù)，函數(shù)概念得到清楚的描述，學(xué)生理解沒有困難很重要的是，映射的思想比函數(shù)的思想更具有一般性，具有更廣泛的應(yīng)用價值，應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中引起重視
在這個知識框架中，映射概念是作為函數(shù)概念的推廣引入的，映射概念顯然沒有處于核心的位置，僅僅引入了概念，但在課程體系中沒有發(fā)揮應(yīng)有的作用與映射相關(guān)的許多概念如一一映射、逆映射、反函數(shù)及反三角函數(shù)等初等數(shù)學(xué)的基本概念和知識都因此沒有得到重視，也同樣沒有起到應(yīng)有的作用而函數(shù)概念本身已經(jīng)引入了對應(yīng)的語言，但對于對應(yīng)的概念本身學(xué)生并不很清晰，這就導(dǎo)致對于函數(shù)概念準(zhǔn)確理解的困難
新課程降低映射的教學(xué)要求值得商榷現(xiàn)在，新課程強調(diào)函數(shù)內(nèi)容與實際的聯(lián)系，實際上，這與重視映射的教學(xué)在思想上并不矛盾，如果能夠結(jié)合起來，既重視映射概念的教學(xué)，又重視函數(shù)與實際的聯(lián)系，那么就能使函數(shù)教學(xué)達到更高的水平另外，新課程中反函數(shù)概念的教學(xué)要求大大降低實際上，反函數(shù)的概念為認(rèn)識后續(xù)各類函數(shù)、關(guān)系及其性質(zhì)提供理論支撐，有利于學(xué)生從聯(lián)系的觀點認(rèn)識各類函數(shù)，對這樣的基本概念教學(xué)的課時投入是有價值的，教學(xué)效率是高的所以，反函數(shù)概念的教學(xué)要求有必要予以提高
4立體幾何的結(jié)構(gòu)與教學(xué)要求
41內(nèi)容整體結(jié)構(gòu)問題
立體幾何的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，新高中數(shù)學(xué)課程對立體幾何的教學(xué)作了重大的結(jié)構(gòu)調(diào)整和教學(xué)要求的改變，立體幾何的教學(xué)問題是目前討論的又一個熱點問題在教材實驗回訪中，老師們對于立體幾何的教學(xué)提出了許多意見，意見集中在幾何體內(nèi)容與點線面位置關(guān)系的先后順序、判定定理是否應(yīng)該證明這兩個方面
在教材實驗回訪中，老師們反映：目前對于立體幾何中幾何體的內(nèi)容講得太簡單，應(yīng)該加強一些，現(xiàn)在只是代公式意義不大；立體幾何中面積、體積計算的內(nèi)容應(yīng)該靠后一些，有些基本概念（如高的概念）沒有，不好處理；立體幾何的一些定理的證明沒有，中間過程沒有，好學(xué)生不滿足；是否在教學(xué)參考中給出補充；在必修2將空間幾何體放在點線面知識的前面，按照教師用書的說法，認(rèn)為這樣更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從人認(rèn)識事物來說，確實是先認(rèn)識一個事物的外表，再認(rèn)識它內(nèi)在的本質(zhì)，但是對于本章教學(xué)來講，在沒有學(xué)點、線、面知識之前，講解空間幾何體，在很多地方僅能講到表面問題，很多時候沒辦法很好地解析學(xué)生提出的問題；從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來講，學(xué)生因為不能知其所以然，所以學(xué)習(xí)的興趣明顯不高
新課程首先安排簡單幾何體的內(nèi)容，要求利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)對于結(jié)構(gòu)特征，江蘇省運河高等師范學(xué)校彭玉忠指出：所謂結(jié)構(gòu)特征，就是幾何體的特征性質(zhì)，換言之，即本質(zhì)屬性確認(rèn)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，就是揭示幾何體生成的過程和規(guī)律……由于此階段對幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究尚無理論根據(jù)，全憑觀察和操作來確認(rèn)，從單一角度分析不足以使學(xué)生全面而準(zhǔn)確地認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征
上面的結(jié)構(gòu)實際上就是指多面體的棱、表面多邊形，或者旋轉(zhuǎn)體軸、母線等之間的位置關(guān)系，結(jié)構(gòu)特征就是位置關(guān)系的特征、特點，實際上應(yīng)該看成是幾何體概念的本質(zhì)特征但是由于學(xué)生尚未學(xué)習(xí)空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的基本知識，包括對于描述幾何體結(jié)構(gòu)特征至關(guān)重要的有關(guān)平行、垂直等概念，所以，對于空間圖形的結(jié)構(gòu)特征的描述實際上是不可能真正達到的一個教學(xué)要求如第一章中對于“正投影”的定義：“在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影”怎樣的投影算是正對著的，無法解釋
正如對于新高中數(shù)學(xué)課程中不等式有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)不應(yīng)該先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教學(xué)，然后再安排不等式基本性質(zhì)的教學(xué)；也正如在平面幾何內(nèi)容的教學(xué)中，不應(yīng)該先安排多邊形和圓的性質(zhì)的研究，然后再安排有關(guān)兩條直線相交、平行、垂直等基本關(guān)系的研究，以及三角形的基本性質(zhì)的教學(xué)等等，這是讓人無法理解的，因為后者為前者作了基本知識的準(zhǔn)備同樣，直線與平面的基本關(guān)系知識的教學(xué)，為幾何體的研究奠定了知識基礎(chǔ)，使幾何體
的研究可以順利推進，這是一個值得重視的問題
立體幾何部分的教學(xué)，可以首先借助信息技術(shù)和實物展示豐富的立體圖形，讓學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)立體幾何知識的必要性與重要性，然后就應(yīng)該轉(zhuǎn)入線、面基本元素關(guān)系的知識學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，再研究幾何體的性質(zhì)，當(dāng)然，對于幾何體的研究的詳略程度，則應(yīng)該有所選擇，有所側(cè)重，不必面面俱到，另外幾何體表面積、體積公式，從把數(shù)學(xué)也作為工具性、應(yīng)用性學(xué)科的角度看，其推導(dǎo)則可以根據(jù)實際情況有詳有略
42判定定理的證明問題
新課程提倡合情推理與演繹推理的結(jié)合，對直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理都不加證明，只是通過操作就加以“確認(rèn)”，不要求嚴(yán)格加以證明《課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為這是培養(yǎng)了合情推理筆者認(rèn)為，這與數(shù)學(xué)的科學(xué)性要求不相符合，通過合情推理只能得到結(jié)論成立的一種猜測，結(jié)論的正確性還有待于嚴(yán)格的證明才能真正加以“確認(rèn)”
此外，如果從節(jié)約課時的角度來考慮省略證明，判定定理的證明比性質(zhì)定理的證明更顯得重要，因為判定定理的作用在于確定垂直或平行關(guān)系的存在，如果這種關(guān)系不能確定，就沒有什么性質(zhì)可言了另外，性質(zhì)定理的證明比判定定理的證明要容易得多，如直線與平面平行的性質(zhì)定理，平面與平面平行的性質(zhì)定理，實際上就是直線與平面平行的定義、直線與直線的平行、平面與平面平行的定義的直接應(yīng)用而已，學(xué)生的理解不會存在什么困難所以，從提高學(xué)生認(rèn)識能力的角度來看，對于一些不容易證明的判定定理的證明更具有必要性例如，對于直線與平面的垂直的判定定理，定理的證明條件已經(jīng)完全具備了，可以很直截了當(dāng)?shù)丶右宰C明，方法簡捷明快現(xiàn)在的教學(xué)安排，放棄定理的證明，又承認(rèn)定理并在需要時就加以應(yīng)用，定理的證明則安排到了后續(xù)選修2-1模塊的“空間向量與立體幾何”部分借助空間向量的方法來證明，相隔時間很久，學(xué)生們對定理證明的必要性也許不以為然了判定定理的探索和證明是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究態(tài)度和精神的良好時機，對于怎樣從直線與平面內(nèi)兩條相交直線的垂直的條件推證出此直線與平面垂直，即與平面內(nèi)任何一條直線都垂直的問題，學(xué)生們一般都會有濃厚的興趣，而保護和培養(yǎng)這種探究精神和態(tài)度對于高中學(xué)生尤其重要平行與垂直判定定理是立體幾何中重要而基本的內(nèi)容，讓學(xué)生證明這些定理，認(rèn)識到定理的正確性，這比對結(jié)論不求甚解，知其然而不知其所以然而盲目加以應(yīng)用要好得多著名數(shù)學(xué)家姜伯駒院士就曾經(jīng)指出“沒有了嚴(yán)格的證明就沒有了數(shù)學(xué)的靈魂和數(shù)學(xué)的精華”
目前，對于空間關(guān)系的判定定理的證明安排在了數(shù)學(xué)2-1的空間向量與立體幾何部分，這對于選學(xué)1-1和1-2的學(xué)生就失去了知識的完整性，沒有機會認(rèn)識這些重要的判定定理從知識結(jié)構(gòu)和知識的難度上來看，空間向量和立體幾何的知識可以安排在必修課程中，讓所有的學(xué)生都學(xué)習(xí)否則，就會有很大一部分學(xué)生不會解決有關(guān)的空間問題
43其他問題
三垂線定理（及逆定理）給出了一種判定平面內(nèi)一條直線與平面的斜線（或斜線的射影）垂直的方法，解決了一類重要的問題，具有廣泛應(yīng)用新課程把它安排到了選修2-1，在一個例題中證明了此結(jié)論，但沒有相應(yīng)的鞏固和應(yīng)用性的訓(xùn)練，導(dǎo)致此定理的地位下降了，作用減弱了
新課程要求以長方體模型為載體直觀認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系，使得空間位置關(guān)系的討論背景過于單一，簡單乏味，不能反映現(xiàn)實空間問題背景的豐富性，對于具體空間關(guān)系問題的實際背景針對性并非最佳這樣的引導(dǎo)也許并不妥當(dāng)
極限概念和微積分初步的教學(xué)
新課程對微積分初步知識的教學(xué)作了重大的改革，加強導(dǎo)數(shù)與積分應(yīng)用的教學(xué)另外，重要的改革是在不講極限概念的基礎(chǔ)上講導(dǎo)數(shù)和積分等概念對此，也有不同的意見
華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系黃志達指出：微積分基礎(chǔ)下放到中學(xué)，已有幾次反復(fù)在新課程中，“新的突破”就是不講極限也能講導(dǎo)數(shù)，“極限”兩個字在中學(xué)課本里已經(jīng)取消，只講平均變化率和瞬時變化率之間的關(guān)系，舉了大量的諸如成本邊際、利潤邊際的實例……極限的概念并不難理解，中學(xué)里要用到的簡單極限就更容易被理解接受，不給嚴(yán)格的定義，粗淺的定義也可以，何苦去割斷體系弄巧成拙呢？
山東省臨沭一中王峰晨指出：極限內(nèi)容的刪除給學(xué)生學(xué)習(xí)以及更深地理解數(shù)學(xué)帶來不便，極限是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是看問題的態(tài)度怎么能說要理解好導(dǎo)數(shù)就要刪去產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)的極限呢？極限是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)必需的，不應(yīng)該成為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的障礙
山東聊城大學(xué)房元霞、宋寶和通過教學(xué)實驗得到結(jié)論：極限是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵和難點；教師對無極限的導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)出不適應(yīng)
為分析極限概念的地位和教學(xué)價值，圖4給出下面的通常所說的微積分初步內(nèi)容概念的結(jié)構(gòu)框架圖
如果有人問有哪一個概念是基本而重要的、自始至終貫穿于微積分內(nèi)容和數(shù)學(xué)分析學(xué)科的，答案是極限的概念微積分和數(shù)學(xué)分析幾乎可以看成是一門研究“極限論”的學(xué)科微積分初步知識中一些最重要的概念如導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)、定積分概念都直接建立于極限概念之上，新課程中不講極限的概念，以上內(nèi)容不容易講清楚，也不太好描述重要的是，極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，不講極限概念本身，也就很難把握極限的思想實際上，在后續(xù)許多內(nèi)容的教學(xué)中，極限的符號廣泛使用，沒有極限的語言使教學(xué)顯得很不自然，很別扭
圖4
山東省聊城大學(xué)房元霞、宋寶和認(rèn)為：微積分中的重要概念都是用極限定義的，導(dǎo)數(shù)也不例外，講導(dǎo)數(shù)想避開極限是不可能的……與其若隱若現(xiàn)、馬馬虎虎，倒不如尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，把函數(shù)極限的知識提出來，當(dāng)然表現(xiàn)形式上要自然流暢，淡化形式，重在極限思想的描述
在高中數(shù)學(xué)中安排一點微積分初步知識的教學(xué)是有一定價值的，但是，微積分本身是數(shù)學(xué)的一個重要分支，其內(nèi)容相當(dāng)豐富就對大多數(shù)學(xué)生的普遍性教學(xué)要求而言，在中學(xué)階段不可能講授系統(tǒng)的微積分知識，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)該考慮中學(xué)生的年齡特點，控制教學(xué)的要求和難度而極限概念作為必要的基本概念，在微積分初步中占有不可替代的重要地位，應(yīng)該在這部分內(nèi)容的教學(xué)中予以重視，至于怎么講法，必須考慮教學(xué)時數(shù)的限制過去曾經(jīng)引入比較嚴(yán)格的極限概念的教學(xué)，還包括了數(shù)列極限和函數(shù)極限的內(nèi)容這是一種講法，這種講法對于牢固建立極限概念和思想當(dāng)然是有利的，不足之處是在極限概念上花費較多的教學(xué)課時另外也可考慮通過一些學(xué)生容易接受和理解的數(shù)列極限的例子，讓學(xué)生學(xué)習(xí)直觀的極限概念（一般地是在無限地變化中無限趨近于定值），建立不夠嚴(yán)密但對于后續(xù)概念（如導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)、定積分等）的教學(xué)必要的極限觀念另外，從我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗看，只要方法得當(dāng)，讓高中學(xué)生掌握比較嚴(yán)格的極限概念也是可能的這就要在教學(xué)中貫徹因材施教的原則，只要可能，不妨讓一部分學(xué)生學(xué)習(xí)比較嚴(yán)格的極限概念，而不必強制性地統(tǒng)一限定和降低教學(xué)要求
另外，高中微積分初步中導(dǎo)數(shù)和定積分的教學(xué)主要著眼于它們的應(yīng)用價值，由于課時的限制，內(nèi)容不能太多當(dāng)然，在結(jié)構(gòu)中必要的內(nèi)容還應(yīng)該重視，如目前教材教學(xué)中不定積分的內(nèi)容就有必要充實、加強，否則，對于后續(xù)定積分教學(xué)的順利進行就會有影響另外，一定要限定所涉及的初等函數(shù)的范圍，只能讓學(xué)生在高中階段初步接觸微積分的思想
6初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的銜接
新課程對于許多教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)要求作了調(diào)整，因此也引起了初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接上的一些問題
（1）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于配方法的要求降低，但配方在數(shù)學(xué)中起重要作用，應(yīng)該加強；
（2）乘法公式目前初中只有平方差公式和完全平方公式，沒有立方和與立方差公式，與此相關(guān)的分解因式也降低了要求，而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究函數(shù)的單調(diào)性、解方程、解不等式、三角恒等變換等許多方面都需要應(yīng)用這些乘法公式，在初中的教學(xué)要求應(yīng)該提高；另外，從學(xué)科教學(xué)的角度看，乘法公式也是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，應(yīng)該予以充實；
（3）多項式相乘初中限制在一次式相乘，為后續(xù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來困難，例如二項式定理及其相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，在初中的要求應(yīng)該適當(dāng)提高，應(yīng)該去掉限制，當(dāng)然，對于相應(yīng)運算內(nèi)容的基礎(chǔ)訓(xùn)練應(yīng)該把握適當(dāng)?shù)亩龋?/p>
（4）初中根式的運算（根號內(nèi)含字母的）比較薄弱，特別是分母有理化已不作要求，使高中的代數(shù)恒等變形和求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程產(chǎn)生困難；
（）解二元二次方程組的知識在高中解析幾何中有重要應(yīng)用，如討論圓錐曲線、函數(shù)圖象交點問題中經(jīng)常用到；
（6）初中只要求會求有理數(shù)的絕對值，規(guī)定絕對值符號內(nèi)不含字母，影響了高中數(shù)學(xué)中一些問題的順利進行
解決這些問題有兩種途徑，一是目前先編寫供高中學(xué)生使用的銜接教材，二是今后進一步修訂初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求
7內(nèi)容多課時緊的矛盾
新高中數(shù)學(xué)課程實施以來，學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)過重是一個相當(dāng)突出的問題，這是《課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂中應(yīng)該引起重視的
安徽省蕭縣教育局教研室吳仲奇指出：新課程實施中課時較少，給課程目標(biāo)的實現(xiàn)帶來挑戰(zhàn)新教材必修1基本上是一節(jié)內(nèi)容一個課時，如果遵循課標(biāo)的課時安排，幾乎堂堂是新內(nèi)容，這樣容易造成學(xué)生對所學(xué)知識淺嘗輒止……由于課時減少，弱化了習(xí)題課的功能，既影響學(xué)生雙基的形成，又影響了過程與方法、情感態(tài)度和價值觀目標(biāo)的實現(xiàn)
浙江省臺州市黃巖區(qū)教育局教研室洪秀滿指出：新高中數(shù)學(xué)課程存在內(nèi)容多、要求高、課時少的問題，如對新課程集合內(nèi)容的教學(xué)要求和課時情況作分析，發(fā)現(xiàn)目前教材比過去大綱教材的內(nèi)容多了2項，但課時卻從過去的6課時減為現(xiàn)在的4課時，使教學(xué)出現(xiàn)困難，欲速而不達，并希望對《課程標(biāo)準(zhǔn)》作修訂
浙江省教研室張金良、杭州中學(xué)朱成萬指出：調(diào)查表明， 有00%的教師認(rèn)為工作負(fù)擔(dān)加重， 440%的教師認(rèn)為工作負(fù)擔(dān)有些加重， 兩項之和占94%；
00%的教師認(rèn)為學(xué)生負(fù)擔(dān)加重， 413%的教師認(rèn)為學(xué)生負(fù)擔(dān)有些加重，兩項之和為913%
華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系彭上觀指出：內(nèi)容多，課時少是學(xué)生反映最強烈的問題.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，83%的學(xué)生認(rèn)為老師講課速度快，學(xué)習(xí)跟不上，沒有時間理解和消化所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.有必要適當(dāng)調(diào)整部分教學(xué)內(nèi)容，如在高一第一學(xué)期開設(shè)的數(shù)學(xué)課程不宜過多，……，讓學(xué)生對高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個適應(yīng)的過程，以實現(xiàn)初高中的平穩(wěn)過渡.
江蘇省運河高等師范學(xué)校彭玉忠指出：新課程文、理兩類的基礎(chǔ)型的總課時都分別超過原課程文、理科的總課時，提高型的超過的就更多了不僅如此，新課程設(shè)定的課時比原課程課時的容量大據(jù)統(tǒng)計，在新課程必修模塊的180課時中，有163課時是原課程中的內(nèi)容，而這些內(nèi)容在原課程中約占203課時，由上可見，新課程的內(nèi)容總量比原課程有較大幅度的增加
從教科書的篇幅看，目前教材必修課五本書（180課時）的篇幅比原高中數(shù)學(xué)必修課四本書（280課時）的篇幅還大從實驗的情況看，學(xué)生負(fù)擔(dān)過重，影響學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，導(dǎo)致了學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣下降
適當(dāng)增加教學(xué)課時是解決課時緊的矛盾的有效辦法，在實際教學(xué)和《課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂中應(yīng)該考慮增加必修課的教學(xué)時間
另外，可以考慮刪去一些相對次要的教學(xué)內(nèi)容（這些內(nèi)容不屬于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容）和一些重復(fù)設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，如立體幾何中的中心投影、量詞、框圖、三視圖，與初中重復(fù)的一些統(tǒng)計等內(nèi)容
8內(nèi)容體系的其他問題
對《課程標(biāo)準(zhǔn)》不同模塊的內(nèi)容安排，老師們還提出其他方面的意見和建議
在教材回訪時教師們指出：簡易邏輯的知識，應(yīng)是學(xué)生基本數(shù)學(xué)修養(yǎng)的一個重要部分，應(yīng)該貫穿整個高中數(shù)學(xué)，現(xiàn)在被挪至選修內(nèi)容中，令人遺憾；四種命題的知識應(yīng)該在高中開始階段教給學(xué)生，而且結(jié)合集合中的并集、交集、補集關(guān)系講解或、且、非，學(xué)生也易于掌握
在《數(shù)學(xué)2》中，第2章《平面解析幾何初步》中安排了“空間直角坐標(biāo)系”，這與整章的標(biāo)題不吻合實際上把這節(jié)內(nèi)容移至選修2-1第3章“空間中的向量與立體幾何”應(yīng)更妥當(dāng)
《課程標(biāo)準(zhǔn)》對于不等式的知識非常重視，指出不等關(guān)系與相等關(guān)系是同樣重要的數(shù)量關(guān)系，專門安排了一個不等式選講的選修專題不等式內(nèi)容是基本的數(shù)學(xué)知識，而且是工具性的，應(yīng)該提前學(xué)習(xí)，但不必在不等式證明上花費太多的時間，而是應(yīng)該教給學(xué)生不等式的一些基本知識，如不等式的基本性質(zhì)和常見不等式，如絕對值不等式的性質(zhì)，均值不等式（可以給出一般形式的均值不等式），就能加強不等式知識的應(yīng)用價值
第6篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
編者按：最值問題遍及高中數(shù)學(xué)的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內(nèi)容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.
近幾年高考中的最值問題，在考查內(nèi)容上，涉及的知識點廣泛，如求函數(shù)的值域，求數(shù)列中的最大項或最小項，求數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數(shù)的性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.
1.二次函數(shù)的最值
求解二次函數(shù)的最值一般是先配方，再借助二次函數(shù)的圖像解答.數(shù)學(xué)中的很多最值問題最后常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來求解.
例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為
難度系數(shù) 0.70
解 選C.
小結(jié) 二次函數(shù)的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、應(yīng)用性最值問題）的基礎(chǔ).最值問題要特別強調(diào)“定義域優(yōu)先”的原則，本題實質(zhì)上是求給定區(qū)間內(nèi)的二次函數(shù)的值域問題.
2.導(dǎo)數(shù)法求最值
導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值要比用初等方法簡便得多，因此導(dǎo)數(shù)法求最值也是一種不可忽視的方法.
設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，求的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數(shù)在內(nèi)的極值；
②將函數(shù)的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）設(shè)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.
難度系數(shù) 0.60
解 （1）解答過程省略.
（2）令，可得兩根所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區(qū)間上的最大值為
小結(jié) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.應(yīng)用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數(shù)y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當(dāng)m 變化時，的最小值為
難度系數(shù) 0.55
解 由題意得選B.
小結(jié) 本題除了考查考生對對數(shù)函數(shù)圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應(yīng)注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.
4.輔助角型三角函數(shù)最值
求函數(shù)y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉(zhuǎn)化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數(shù)的有界性可求.
例4 （2011年高考新課標(biāo)理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .
難度系數(shù) 0.65
解 最大值為2
小結(jié) 本題考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)和公式的應(yīng)用，熟練運用化一公式并利用函數(shù)的有界性處理是解答問題的關(guān)鍵.
不等式的恒成立問題
不等式的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數(shù)的最小值為0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數(shù)k的最小值；
（Ⅲ）證明難度系數(shù) 0.50
解 （Ⅰ）據(jù)題意可知函數(shù) 的定義域為由當(dāng)x變化時的變化情況如下表：
因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合題意.當(dāng)時，令，即，于是
令，得
①當(dāng)時， 在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.
②當(dāng)時，對于，故在上單調(diào)遞增.因此，當(dāng)取時，，即不成立.故不合題意.
綜上可知，k的最小值為.
（Ⅲ）證明過程省略.
第7篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
曾經(jīng)有人說過：小學(xué)數(shù)學(xué)是運算，初中數(shù)學(xué)是解題，高中數(shù)學(xué)是思想，大學(xué)數(shù)學(xué)是創(chuàng)造?？梢姡咧袛?shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想的滲透是教學(xué)的重中之重。知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認(rèn)識和經(jīng)驗的總和，它是人類文化的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)學(xué)科中許多豐富多彩的內(nèi)容反映了哪些共同的，帶本質(zhì)性的東西？這就是數(shù)學(xué)思想方法，它們是知識中奠基性的成分，是人們獲得概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等所必不可少的，是知識的核心，也是數(shù)學(xué)文化的“重中之重”。學(xué)生在問題面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成解決問題達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動，而數(shù)學(xué)思想方法卻能使之到達這一目標(biāo)。
一、高中數(shù)學(xué)課程對數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)
高中數(shù)學(xué)大綱指出：“會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點，能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)”。高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容精選于那些現(xiàn)代社會生活，生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用的知識，這也要求我們從紛繁復(fù)雜、五彩繽紛的現(xiàn)代生活、生產(chǎn)中提煉出具有指導(dǎo)意義的數(shù)學(xué)思想。豐富的數(shù)學(xué)思想對培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣和研究方法具有十分重要的作用，日本著名數(shù)學(xué)教育家燦國藏曾說過：“不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想方法，研究方法，推理方法和著眼點，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！?/p>
縱觀初、高中數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，無不體現(xiàn)以下數(shù)學(xué)思想：符號化與變元思想方法，函數(shù)與方程的思想方法，數(shù)形結(jié)合與分離的思想方法，分類討論的思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，歸納、猜想、論證的思想方法，主元的思想方法，對稱性的思想方法，有限與無限逼近的思想方法，系統(tǒng)與統(tǒng)計的思想方法等。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和所用方法的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解過程中提煉出來的一些觀點，具有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，如果學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法就能觸類旁通、舉一反三，這將極大的促進學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善。就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能，也就是說，學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)思想方法是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。
二、課堂教學(xué)中的思想方法滲透
課堂教學(xué)是學(xué)生獲取知識最直接的手段，在教學(xué)中滲透思想方法是必要的。在方程與函數(shù)的教學(xué)中，將實際問題抽象出概念和模型，從而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想方法，感受符號化思想等。例如：現(xiàn)在各地列車都在提速，但是并非速度越快列車的流通量（單位時間內(nèi)通過的列車數(shù)量）越大，火車運行時兩列車的距離（前一列車的車尾到后一列車的車頭的距離稱為車距）與速度的平方成正比，據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)速度為V0時，車距必須為P0，問速度為多大時，列車流通量最大。
分析：這是一個實際問題，在研究些問題首先要引入符號，流通量Q、車速V、列車長為L，而后建立數(shù)學(xué)模型：單位時間內(nèi)通過的列車數(shù)量：Q= ，據(jù)題意：P0=KV 則K= 當(dāng)車速為V時，車距為P=KV2= V2，故Q= 即當(dāng)且僅當(dāng) Q最大。用純粹的數(shù)學(xué)知識來解決貼近生活的實際問題，把數(shù)學(xué)思想方法遷移到生活中，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思想方法的作用。
再如：在平面向量加減法的教學(xué)中，就要注意與物理中矢量加減法的類比，平面向量的坐標(biāo)運算與直角坐標(biāo)系的類比；基本不等式形成的歸納與總結(jié)中所體現(xiàn)的化歸思想及對不等式證明中應(yīng)用的綜合法、分析法、比較法、反證法、放縮法、代換法等數(shù)學(xué)方法的展示；在三角函數(shù)中“1”轉(zhuǎn)化為分sin2α+cos2α，tan（π/4+kπ）， tanα? cotα以及誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式等形成與推導(dǎo)中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想、符號化思想、整體代入思想的滲透，對y=Asin（wx+φ）的整體化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想的介紹與展示；立體幾何中平行轉(zhuǎn)化、垂直轉(zhuǎn)化、空間向量轉(zhuǎn)化、球的體積與表面積的無限逼近思想方法；概率統(tǒng)計中的分類，統(tǒng)計思想，微積分的有限逼近與無限逼近，符號化、集合等思想的體現(xiàn)，比比皆是，俯拾可得。在數(shù)學(xué)中要處處時時地滲透。
第8篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
一、不等式的本質(zhì)理解及不等式的工具性作用
首先，我們研究兩個實數(shù)α，b的和、積、平方和中任兩者間的不等關(guān)系（如圖1）.
其次，上述不等式主要起工具性作用――求最值問題，特別是在用基本不等式 函求最值時，應(yīng)遵循“一正、二定、三等”的原則.對于求最值問題的常用工具，應(yīng)當(dāng)清楚：一是利用函數(shù)的單調(diào)性（主要處理一元問題）；二是利用不等式（主要處理二元問題，同時亦可處理部分一元問題），
同樣，解一元二次不等式問題應(yīng)同時關(guān)注函數(shù)、方程問題，注意三者間的內(nèi)在聯(lián)系（如圖2），彼此相互轉(zhuǎn)化，往往能使問題迎刃而解.
二、解不等式問題的基本方法與簡解
1.抓住題根，萬變不離其宗
一些不等式問題實質(zhì)上是源于同一個題根，只是以不同的形式呈現(xiàn)，而且出現(xiàn)的頻率比較高，下面的例子甚是經(jīng)典.
常規(guī)方法的基本思路是消元，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再利用基本不等式求解，當(dāng)然亦可以用函數(shù)的方法求解，譬如求導(dǎo)研究單調(diào)性，判別式法等；簡單方法抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造利用基本不等式求解的數(shù)式形式，進而達到簡解的效果.這種題經(jīng)過基本訓(xùn)練，很容易就掌握其解題方法，若將該題以其他形式給出呢？你能否很快識別題根，尋找到簡解呢？
由此可見，通過線性代換可以將此類問題轉(zhuǎn)化為題根問題，并加以簡解.
2.判別式法――解決一類不等式問題的利器
判別式法應(yīng)用廣泛，不僅適用于求值域問題，還適用于求最值問題，由于在具體問題中，不少解題者的應(yīng)用意識淡薄和模式識別能力不強，因此，這一重要方法的應(yīng)用頻率并不高，值得我們關(guān)注的是判別式法在解決一些問題時比其他方法更顯簡便.
3.注重利用函數(shù)、方程、不等式間的內(nèi)在聯(lián)系，簡化問題
函數(shù)、方程、不等式之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，在解決某一問題時，往往需要借助化歸將問題巧妙地轉(zhuǎn)化，從而獲得簡解.
（2012年高考江蘇卷第13題）已知函數(shù)f（x）=x2+ αx+b（α，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）
法一 由一元二次不等式f（x）
，又函數(shù)f（x）=x2+αx+b （α，b∈R）的值域為[O，+∞），故α2-4b =O，所以實數(shù)f的值為9.
法二 考慮到函數(shù)f（x）=x2+αx+b（α，b∈R）是由最簡單的二次函數(shù)g（x）=x2經(jīng)過平移變換獲得的（如圖4），則f（x）
法一沒有局限于不等式本身，而是將不等式問題化歸為方程問題；法二更是將不等式問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)圖象問題，解答十分精巧，簡便.
下面這道題頗有難度，但若換個視角看一元二次不等式解起來倒是不難.
設(shè)o
由①②利用線性規(guī)劃知識可得，l
第9篇：高中數(shù)學(xué)的基本不等式范文
關(guān)鍵詞： 不等式章節(jié) 高中生學(xué)習(xí)品質(zhì) 培養(yǎng)策略
俗話說，習(xí)慣成自然，功到自然成。教學(xué)活動的目的，不僅僅是“解疑釋惑”，向?qū)W生傳授知識內(nèi)容和技能，更重要的是“教人求真”，向?qū)W生傳授做人的道理，讓他們“學(xué)做真人”。教學(xué)實踐證明，學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的技能，掌握學(xué)習(xí)的方法，提高學(xué)習(xí)的品質(zhì)，能夠?qū)W(xué)習(xí)效能、學(xué)習(xí)習(xí)慣的提升和養(yǎng)成起到促進和推動作用，并使學(xué)生終身受益。新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面貫徹落實，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)和素養(yǎng)，成為重要的教學(xué)目標(biāo)。因此，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)作為新課改下有效教學(xué)活動的首要任務(wù)。不等式章節(jié)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是解決許多實際問題的重要“工具”。高中生通過對一元二次不等式、二元一次不等式（組）和基本不等式的研究和學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)品質(zhì)得到有效鍛煉和樹立。下面我對不等式章節(jié)教學(xué)中學(xué)生良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)進行探討。
一、利用不等式章節(jié)內(nèi)容的廣泛應(yīng)用性，培養(yǎng)高中生能動積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。
“態(tài)度決定一切”。積極向上的學(xué)習(xí)態(tài)度，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要前提和思想保證。高中生處在人生發(fā)展的決定性階段，良好學(xué)習(xí)態(tài)度的樹立有助于學(xué)生更好適應(yīng)社會，展示才能。不等式章節(jié)是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要工具，在現(xiàn)實生活中有著廣泛應(yīng)用，這就為培養(yǎng)高中生積極主動的學(xué)習(xí)意識，端正高中生的學(xué)習(xí)態(tài)度，打下了基礎(chǔ)，提供了條件。如在二元一次不等式組的教學(xué)活動中，通過對該節(jié)知識內(nèi)容的分析，可以發(fā)現(xiàn)，二元一次不等式組是解決實際問題的重要數(shù)學(xué)模型，也是刻畫區(qū)域解決簡單線性規(guī)劃問題的工具。因此，教師可以在新知教學(xué)活動中設(shè)置“有糧食和石油兩種物資，可用輪船和飛機兩種方式進行運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果分別為300t、250t和150t、100t，現(xiàn)在想要在一天內(nèi)完成運輸2000t糧食和1500t石油的任務(wù)，安排的輪船的艘數(shù)x和飛機的架數(shù)y應(yīng)滿足什么條件？”現(xiàn)實問題，讓學(xué)生感知該節(jié)知識點的應(yīng)用性和學(xué)習(xí)掌握知識內(nèi)容的現(xiàn)實意義，從而學(xué)習(xí)意識更強，學(xué)習(xí)態(tài)度更好。
二、發(fā)揮不等式章節(jié)案例的能力發(fā)展性，培養(yǎng)高中生探索創(chuàng)新的向上精神。
學(xué)習(xí)探知的“道路”充滿了“荊棘”和“坎坷”，需要保持克難求進、勇于創(chuàng)新的積極向上的精神，這也有助于高中生探索創(chuàng)新、克難求進的良好學(xué)習(xí)精神的培養(yǎng)。在不等式章節(jié)案例解答過程中，需要用到的數(shù)學(xué)知識較多，規(guī)律性問題較多，同時與初中知識有著密切的聯(lián)系，學(xué)生在解答不等式問題案例時，需要認(rèn)清問題案例內(nèi)涵、找出問題條件之間的深刻聯(lián)系，進行嚴(yán)密的邏輯推理，構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R網(wǎng)絡(luò)體系，這一過程中，高中生的探索實踐能力和創(chuàng)新思維能力能夠得到有效鍛煉，逐步樹立探索創(chuàng)新精神。
解得，t≤-2或t=0或t≥2.
t的取值范圍是{t|t≤-2或t=0或t≥2}.
